《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 填写下面表格：
| 函数表达式 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y= 2(x-3)^{2}+5$ | | | |
| $y= -2(x+3)^{2}-5$ | | | |

答案： 对于函数$y = 2(x - 3)^{2} + 5$：
开口方向：因为$a = 2\gt 0$，所以开口向上。
对称轴：根据$y=a(x - h)^{2}+k$的对称轴为$x = h$，可得对称轴为$x = 3$。
顶点坐标：根据$y=a(x - h)^{2}+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得顶点坐标为$(3,5)$。
对于函数$y = -2(x + 3)^{2} - 5$：
开口方向：因为$a = -2\lt 0$，所以开口向下。
对称轴：根据$y=a(x - h)^{2}+k$的对称轴为$x = h$，可得对称轴为$x = -3$。
顶点坐标：根据$y=a(x - h)^{2}+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得顶点坐标为$(-3,-5)$。
故表格填写如下：
| 函数表达式 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = 2(x - 3)^{2} + 5$ | 向上 | $x = 3$ | $(3,5)$ |
| $y = -2(x + 3)^{2} - 5$ | 向下 | $x = -3$ | $(-3,-5)$ |

2. 关于抛物线$y= -\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}+3$,下列结论错误的是 (B)
A.开口向下
B.对称轴为直线$x= 1$
C.顶点坐标为$(-1,3)$
D.当$x＞-1$时,$y随x$的增大而减小

答案： 答题卡作答：
该抛物线的标准形式为$y= -\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}+3$；
A. 因为系数$a = -\dfrac{1}{2} ＜ 0$，所以抛物线开口向下，正确；
B. 对称轴为$x = -1$，而非$x = 1$，错误；
C. 顶点坐标为$(-1,3)$，正确；
D. 当$x ＞ -1$时，由于抛物线开口向下，$y$随$x$的增大而减小，正确。
故正确答案选B。

3. 已知二次函数$y= 3(x-1)^{2}+k的图象上有三点A(\sqrt{2},y_{1})$,$B(2,y_{2})$,$C(-\sqrt{5},y_{3})$,则$y_{1},y_{2},y_{3}$用“＞”号连接为$y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$.

答案： 对于二次函数$y = 3(x - 1)^{2} + k$，其对称轴为$x = 1$，并且由于系数$a = 3 ＞ 0$，所以函数的开口方向是向上的。
计算各点到对称轴的距离：
点A$(\sqrt{2}, y_{1})$到对称轴$x = 1$的距离为$| \sqrt{2} - 1 |$；
点B$(2, y_{2})$到对称轴$x = 1$的距离为$| 2 - 1 | = 1$；
点C$(-\sqrt{5}, y_{3})$到对称轴$x = 1$的距离为$| -\sqrt{5} - 1 |$。
比较这三个距离，我们有：
$| -\sqrt{5} - 1 | ＞ 1 ＞ | \sqrt{2} - 1 |$，
由于函数是开口向上的，所以距离对称轴越远，函数值越大。
因此，我们得到：
$y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$。
故答案为：$y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$。

4. 如图,已知二次函数$y= a(x+m)^{2}+k的图象的顶点坐标为(1,-4)$,且过点$A(-1,0)$.
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 将二次函数$y= a(x+m)^{2}+k的图象沿x$轴翻折,得到一个新的抛物线,求新抛物线的解析式.

答案：
(1)$y=(x - 1)^2 - 4$；
(2)$y=-(x - 1)^2 + 4$

5. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y= 3x^{2}$先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得新抛物线的解析式为$y=3(x+1)^2+2$.
【变式】已知抛物线$y= 3(x-2)^{2}+1$,若先将$x$轴向上平移2个单位长度,再将$y$轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为$y=3(x-5)^2-1$.

答案： 5. $y=3(x+1)^2+2$
【变式】$y=3(x-5)^2-1$

6. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y= x^{2}与y= (x-1)^{2}-4$的图象.
(1) 请填写下表,并画出函数图象.
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y= x^{2}$ | … | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
| $y= (x-1)^{2}-4$ | … | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | … |

(2) 写出这两个二次函数图象的顶点坐标.
$y = x^{2}$ 的顶点坐标为 $(0,0)$；$y=(x - 1)^{2}-4$ 的顶点坐标为 $(1,-4)$。
(3) 说明二次函数$y= (x-1)^{2}-4的图象可以由二次函数y= x^{2}$的图象经过怎样的变换得到.
二次函数 $y=(x - 1)^{2}-4$ 的图象可以由二次函数 $y = x^{2}$ 的图象先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到。

答案：
(1)
| $x$ | $\cdots$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | $\cdots$ |
| $y=(x - 1)^{2}-4$ | $\cdots$ | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | $\cdots$ |
(2) $y = x^{2}$ 的顶点坐标为 $(0,0)$；$y=(x - 1)^{2}-4$ 的顶点坐标为 $(1,-4)$。
(3) 二次函数 $y=(x - 1)^{2}-4$ 的图象可以由二次函数 $y = x^{2}$ 的图象先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到。