《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,某公司在某网络平台上直播销售板栗.已知该板栗的成本价为6元/kg,日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足一次函数关系y= -100x+5000.为提高顾客的购买积极性,该公司每天直播时拿出2000元现金作为红包发给购买者,并规定销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.经销售发现,当日销售量不低于4000 kg时,每千克成本将降低1元.设该公司销售板栗的日销售利润为w(元).
(1)求日销售利润w与销售单价x之间的函数解析式.
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗的日销售利润最大?最大利润为多少元?

答案：
(1) 当$6 \leq x \leq 10$时，$y = -100x + 5000 \geq 4000$，成本为$5$元/kg，$w=(x - 5)(-100x + 5000)-2000=-100x^2 + 5500x - 27000$；
当$10 ＜ x \leq 30$时，$y = -100x + 5000 ＜ 4000$，成本为$6$元/kg，$w=(x - 6)(-100x + 5000)-2000=-100x^2 + 5600x - 32000$。
综上，$w=\begin{cases} -100x^2 + 5500x - 27000 & (6 \leq x \leq 10) \\ -100x^2 + 5600x - 32000 & (10 ＜ x \leq 30) \end{cases}$。
(2) ① 当$6 \leq x \leq 10$时，对称轴$x=27.5$（不在此区间），$w$随$x$增大而增大，$x=10$时，$w=18000$；
② 当$10 ＜ x \leq 30$时，对称轴$x=28$，$x=28$时，$w=-100×28^2 + 5600×28 - 32000=46400$。
比较得，当$x=28$时，$w$最大为$46400$元。
答：
(1) 分段函数如上述；
(2) 销售单价定为28元时，日销售利润最大，最大利润为46400元。

2. 某工厂计划从现在开始,在每个生产周期内生产某型号的设备并全部销售完.已知该设备的生产成本为10万元/件,第x个生产周期内该设备的售价为z万元/件,且售价z与x之间满足函数关系$ z= \begin{cases} 15,0 ＜ x \leqslant 12, \\ mx+n,12 ＜ x \leqslant 20, \end{cases} $其中x是正整数,且当x= 16时,z= 14;当x= 20时,z= 13.
(1)求m,n的值.
(2)设第x个生产周期内生产y件该型号设备并全部销售完,且y与x满足函数关系y= 5x+20,则该工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元,则a的取值范围是______400 ＜ a ≤ 403.75.

答案：
(1) 当12 ＜ x ≤ 20时，z = mx + n。将x=16,z=14和x=20,z=13代入，得：
$\begin{cases}16m + n = 14 \\20m + n = 13\end{cases}$
解得：$m=-\frac{1}{4}$，$n=18$。
(2) 利润$W=(z-10)y$，$y=5x+20$。
当$0 ＜ x \leq 12$时，$z=15$，$W=(15-10)(5x+20)=25x+100$。x=12时，$W=25×12+100=400$。
当$12 ＜ x \leq 20$时，$z=-\frac{1}{4}x+18$，$W=(-\frac{1}{4}x+8)(5x+20)=-\frac{5}{4}x^2+35x+160$。对称轴$x=14$，x=14时，$W=-\frac{5}{4}×14^2+35×14+160=405$。
∵405＞400，
∴第14周期利润最大，最大利润405万元。
(3) 400 ＜ a ≤ 403.75