《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8.在同一平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+2与二次函数y= x^{2}-a$的大致图象是(A)

答案： A

9.已知二次函数$y= x^{2}+3$,当$-1\leqslant x\leqslant 2$时,函数值y的取值范围是(B)
A.$4\leqslant x\leqslant 7$
B.$3\leqslant x\leqslant 7$
C.$3\leqslant x\leqslant 5$
D.$4\leqslant x\leqslant 5$

答案： 二次函数$y=x^2 + 3$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$）。
当$x=0$时，$y=0^2 + 3=3$，此为函数的最小值。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2 + 3=1 + 3=4$；当$x=2$时，$y=2^2 + 3=4 + 3=7$。
在$-1\leqslant x\leqslant 2$范围内，最大值为$7$，最小值为$3$，所以$y$的取值范围是$3\leqslant y\leqslant 7$。
B

10.已知二次函数$y= 2x^{2}+c的图象上有三个点A(-1,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(3,y_{3})$,则(A)
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
C.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$

答案： 1. 对于二次函数$y = ax^2 + c$，对称轴为$x = 0$（即$y$轴）。
2. 二次函数$y = 2x^2 + c$的开口方向向上（因为$a = 2 ＞ 0$），在对称轴左侧（$x ＜ 0$）函数值随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x ＞ 0$）函数值随$x$的增大而增大。
3. 点$A(-1,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(3,y_3)$到对称轴$x = 0$的距离分别为：
点$A$：$\vert -1 - 0\vert = 1$；
点$B$：$\vert -2 - 0\vert = 2$；
点$C$：$\vert 3 - 0\vert = 3$。
4. 因为$1\lt 2\lt 3$，且函数开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1\lt y_2\lt y_3$。
答案选A。

11.如图,抛物线$y= -\dfrac{1}{2}x^{2}+m$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点$C(0,2)$.
(1)求抛物线的解析式,并写出对称轴.
(2)在抛物线上是否存在一点M,使$\triangle MAC\cong \triangle OAC$?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2$，对称轴$x=0$；
(2) 不存在。

12.如图,抛物线$y= ax^{2}+1经过点P(2,3)$.
(1)抛物线的解析式为______$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$；
(2)点$P'$是平面内一点,$OP'= OP,\angle POP'= 45^{\circ}$,求点$P'$的坐标.$P'\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$或$P'\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$

答案： 1. （1）
已知抛物线$y = ax^{2}+1$经过点$P(2,3)$，将$x = 2$，$y = 3$代入抛物线方程：
得$3=a×2^{2}+1$，即$3 = 4a+1$。
移项可得$4a=3 - 1=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
所以抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$。
2. （2）
首先求$OP$的长度：
已知$P(2,3)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，这里$O(0,0)$，$P(2,3)$，则$OP=\sqrt{(2 - 0)^{2}+(3 - 0)^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
设$P'(x,y)$，因为$OP' = OP=\sqrt{13}$，所以$x^{2}+y^{2}=13$。
又因为$\angle POP' = 45^{\circ}$，根据向量的夹角公式$\cos\angle POP'=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP'}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{OP'}\vert}$，$\overrightarrow{OP}=(2,3)$，$\overrightarrow{OP'}=(x,y)$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\vert\overrightarrow{OP}\vert=\vert\overrightarrow{OP'}\vert=\sqrt{13}$，则$\frac{2x + 3y}{\sqrt{13}×\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$2x + 3y=\frac{13\sqrt{2}}{2}$。
由$x^{2}+y^{2}=13$，$y=\frac{13\sqrt{2}-4x}{6}$，代入$x^{2}+y^{2}=13$得：
$x^{2}+\left(\frac{13\sqrt{2}-4x}{6}\right)^{2}=13$。
$36x^{2}+(13\sqrt{2}-4x)^{2}=13×36$。
$36x^{2}+338-104\sqrt{2}x + 16x^{2}=468$。
$52x^{2}-104\sqrt{2}x - 130 = 0$，两边同时除以$26$得$2x^{2}-4\sqrt{2}x - 5 = 0$。
根据求根公式$x=\frac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{32+40}}{4}=\frac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{72}}{4}=\frac{4\sqrt{2}\pm6\sqrt{2}}{4}$。
解得$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
所以$P'\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$或$P'\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$。
综上，（1）$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$；（2）$P'\left(\frac{5\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$或$P'\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$。