《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 一元二次方程$x^{2}+x-1= 0$的根的判别式的值是(D)
A.-3
B.3
C.-5
D.5

答案： 1. 对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其根的判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
2. 对于方程 $x^{2} + x - 1 = 0$，其中 $a = 1, b = 1, c = -1$。
3. 代入判别式公式得：$\Delta = 1^{2} - 4 × 1 × (-1) = 1 + 4 = 5$。
故答案为：D. $5$。

2. 一元方程$(x+2)^{2}= 6(x+2)-4$的根的判别式的值是(C)
A.52
B.32
C.20
D.-12

答案： C

3. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m= 0$的根的判别式的值是-4,则m的值是5.

答案： 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 - 4x + m = 0$中，$a = 1$，$b = -4$，$c = m$。
已知$\Delta=-4$，则：
$\begin{aligned}(-4)^2 - 4×1× m&=-4\\16 - 4m&=-4\\-4m&=-4 - 16\\-4m&=-20\\m&=5\end{aligned}$
5

4. 一元二次方程$4x^{2}-2x-1= 0$的根的情况为(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.只有一个实数根
D.无实数根

答案： B

5. 下列一元二次方程中,没有实数根的是(C)
A.$x^{2}-2x= 0$
B.$x^{2}+4x-1= 0$
C.$2x^{2}-4x+3= 0$
D.$3x^{2}= 5x-2$

答案： A. 对于方程 $x^{2} - 2x = 0$，其系数为 $a = 1, b = -2, c = 0$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(0) = 4 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
B. 对于方程 $x^{2} + 4x - 1 = 0$，其系数为 $a = 1, b = 4, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4(1)(-1) = 20 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
C. 对于方程 $2x^{2} - 4x + 3 = 0$，其系数为 $a = 2, b = -4, c = 3$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4(2)(3) = -8 ＜ 0$
所以，此方程没有实数根，符合题意。
D. 对于方程 $3x^{2} = 5x - 2$，整理得：
$3x^{2} - 5x + 2 = 0$
其系数为 $a = 3, b = -5, c = 2$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 1 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
综上，只有选项C的方程没有实数根。
故答案为：C。

6. 利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)$x^{2}-2x-1= 0$；
(2)$x(x+1)= 3x^{2}+\frac{1}{8}$.

答案：
(1)对于方程$x^{2}-2x - 1=0$，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8$，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
(2)方程$x(x + 1)=3x^{2}+\frac{1}{8}$整理得$2x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$，$a = 2$，$b=-1$，$c=\frac{1}{8}$，$\Delta=(-1)^{2}-4×2×\frac{1}{8}=1 - 1=0$，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根。

7. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+k= 0$有两个相等的实数根,则k的取值范围是(C)
A.$k= -1$
B.$k＞-1$
C.$k= 1$
D.$k＞1$

答案： C

8. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x+1= 0$没有实数根,则k的取值范围是(C)
A.$k＜2$
B.$k＜2且k≠1$
C.$k＞2$
D.$k≥2$

答案： 首先，由于方程 $(k-1)x^{2}+2x+1= 0$ 是一元二次方程，其二次项系数 $k-1$ 不能为0，即 $k \neq 1$。
其次，根据题目条件，方程没有实数根，即判别式 $\Delta$ 应小于0。
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4(k-1) × 1 = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$
由于方程没有实数根，所以 $\Delta ＜ 0$，即：
$8 - 4k ＜ 0 \implies k ＞ 2$
综合以上两个条件，得出 $k ＞ 2$。
故答案为：C. $k ＞ 2$。

9. 若关于x的一元二次方程$kx^{2}-4x+2= 0$有实数根,则k的取值范围是(D)
A.$k≥2$
B.$k≥2且k≠0$
C.$k≤2$
D.$k≤2且k≠0$

答案： 答题卡：
解：
1. 首先，由于方程 $kx^{2} - 4x + 2 = 0$ 是一元二次方程，其二次项系数 $k$ 不能为0，即 $k \neq 0$。
2. 其次，根据一元二次方程的根的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$，我们有 $\Delta = (-4)^{2} - 4 × k × 2 = 16 - 8k$。
3. 方程有实数根需要满足 $\Delta \geq 0$，即 $16 - 8k \geq 0$。
4. 解这个不等式，我们得到 $k \leq 2$。
5. 综合以上两点，我们得到 $k$ 的取值范围是 $k \leq 2$ 且 $k \neq 0$。
故答案为：D. $k \leq 2$ 且 $k \neq 0$。

10. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m-2= 0$.求证:无论m取何值,此方程总有两个不等的实数根.

答案： 答题卡：
10.
证明：
对于方程 $x^{2}+(2m+1)x+m-2= 0$，
其判别式为：
$\Delta = (2m + 1)^{2} - 4 × 1 × (m - 2)$
$= 4m^{2} + 4m + 1 - 4m + 8$
$= 4m^{2} + 9$
由于 $4m^{2} \geq 0$，所以 $4m^{2} + 9 ＞ 0$。
因此，无论$m$取何值，此方程总有两个不等的实数根。