《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

10.将抛物线y= x2平移后经过(-2,2),(1,5)两点,则平移后抛物线的解析式为______y = x² + 2x + 2.

答案： 设平移后的抛物线解析式为$y = x^{2} + bx + c$。
把$(-2,2)$代入解析式得：$4 - 2b + c = 2$，即$c = 2b - 2$，
把$(1,5)$代入解析式得：$1 + b + c = 5$，即$c = 4 - b$，
联立方程$2b - 2 = 4 - b$，
解得$b = 2$，
代入$c = 4 - b$得$c = 2$。
所以平移后的抛物线解析式为$y = x^{2} + 2x + 2$。

11.已知抛物线经过原点及点(-2,-2),且与x轴的另一个交点到原点的距离为4,则该抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x$或$y=\frac{1}{2}x^2+2x$.

答案： $y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x$或$y=\frac{1}{2}x^2+2x$

12.如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点A,B在x轴上,AB= 4,点D的坐标为(0,8),以点C为顶点的抛物线经过点A,B,则该抛物线的解析式为______y=-2x²+16x-24.

答案： 设点A的坐标为$(a, 0)$，则点B的坐标为$(a+4, 0)$（因为$AB=4$且A、B在x轴上）。
在▱ABCD中，$AB // CD$且$AB=CD$，点$D(0,8)$，向量$\overrightarrow{AB}=(4,0)$，故向量$\overrightarrow{DC}=(4,0)$，因此点$C$的坐标为$(0+4, 8+0)=(4,8)$。
抛物线以点$C(4,8)$为顶点，设其解析式为$y=k(x-4)^2+8$（$k \neq 0$）。
因为抛物线经过点$A(a,0)$和$B(a+4,0)$，将$A(a,0)$代入得：$0=k(a-4)^2+8$；将$B(a+4,0)$代入得：$0=k(a)^2+8$。
联立方程：$\begin{cases}k(a-4)^2+8=0 \\ ka^2+8=0\end{cases}$，两式相减得$k[a^2-(a-4)^2]=0$，即$k(8a-16)=0$。
因为$k \neq 0$，所以$8a-16=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入$ka^2+8=0$，得$4k+8=0$，解得$k=-2$。
故抛物线解析式为$y=-2(x-4)^2+8$，展开得$y=-2x^2+16x-24$。
$y=-2x^2+16x-24$

13.如图,抛物线y= ax2+bx+4经过点A(-3,0),B,C,点C在y轴的正半轴上,且BC//x轴,AB平分∠CAO,则此抛物线的解析式为______$y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 4$.

答案： 因为抛物线$y = ax^2 + bx + 4$经过点$C$，且点$C$在$y$轴正半轴上，令$x=0$，得$y=4$，所以$C(0,4)$。
因为$BC// x$轴，点$C(0,4)$，所以点$B$纵坐标为$4$，设$B(m,4)(m＞0)$。
点$A(-3,0)$，$O(0,0)$，直线$AC$：设其方程为$y=kx+4$，将$A(-3,0)$代入得$0=-3k+4$，解得$k=\frac{4}{3}$，故直线$AC$：$y=\frac{4}{3}x + 4$，化为一般式$4x - 3y + 12 = 0$。
$AB$平分$\angle CAO$，点$B$到$AO$（$x$轴）距离为$4$，则点$B$到直线$AC$距离也为$4$。由点到直线距离公式，点$B(m,4)$到$4x - 3y + 12 = 0$的距离为$\frac{|4m - 12 + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}=\frac{|4m|}{5}$，所以$\frac{4m}{5}=4$，解得$m=5$，即$B(5,4)$。
将$A(-3,0)$，$B(5,4)$代入$y = ax^2 + bx + 4$得：
$\begin{cases}0 = 9a - 3b + 4 \\4 = 25a + 5b + 4\end{cases}$
由第二个方程得$25a + 5b = 0$，即$b = -5a$，代入第一个方程：$9a - 3(-5a) + 4 = 0$，$24a + 4 = 0$，解得$a=-\frac{1}{6}$，则$b=\frac{5}{6}$。
抛物线解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 4$。
$y=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 4$

14.如图,抛物线的顶点M在y轴上,与直线y= x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,
连接AM,BM.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由.

答案：
(1)$y = x^2 - 1$；
(2)直角三角形。

15.已知抛物线y= x1如图所示,且当抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后,经过点A(0,3).
(1)求m的值,并画出平移后的抛物线.
(2)设两条抛物线相交于点B$\frac{3}{2}$,$\frac{3}{4}$),点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C,试在新抛物线的
对称轴上找出一点P,使BP+CP的值最小,求出点P的坐标.

答案：
(1) 原抛物线解析式为 $ y = \frac{1}{3}x^2 $，向右平移 $ m $ 个单位后解析式为 $ y = \frac{1}{3}(x - m)^2 $。
将点 $ A(0,3) $ 代入得：$ 3 = \frac{1}{3}(0 - m)^2 $，即 $ m^2 = 9 $。
∵ $ m ＞ 0 $，
∴ $ m = 3 $。
平移后抛物线解析式为 $ y = \frac{1}{3}(x - 3)^2 $。
(2) 新抛物线对称轴为直线 $ x = 3 $。
点 $ A(0,3) $ 关于对称轴 $ x = 3 $ 的对称点 $ C $ 坐标为 $ (6,3) $。
设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = kx + b $，将 $ B\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right) $、$ C(6,3) $ 代入：
$\begin{cases} \frac{3}{4} = \frac{3}{2}k + b \\3 = 6k + b \end{cases}$
解得 $ k = \frac{1}{2} $，$ b = 0 $，
∴直线 $ BC $：$ y = \frac{1}{2}x $。
直线 $ BC $ 与对称轴 $ x = 3 $ 的交点 $ P $ 坐标为 $ (3, \frac{3}{2}) $。
答案
(1) $ m = 3 $；
(2) $ P\left(3, \frac{3}{2}\right) $。