《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,CD是⊙O的弦,半径OE⊥CD,垂足为点F.若CD= 4,EF= 1,求⊙O的半径.

答案： 设⊙O的半径为$r$。
连接$OC$。
因为$OE \perp CD$，根据垂径定理，$CF = \frac{1}{2}CD$。
已知$CD = 4$，所以$CF = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
在$Rt\triangle OCF$中，$OC = r$，$OF = r - 1$，$CF = 2$。
根据勾股定理$OC^{2}=OF^{2}+CF^{2}$，即$r^{2}=(r - 1)^{2}+2^{2}$。
展开式子得$r^{2}=r^{2}-2r + 1 + 4$。
移项化简可得$2r = 5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
所以，⊙O的半径为$\frac{5}{2}$。

2. 如图,AD为⊙O的直径,BC为⊙O的弦,AD⊥BC于点E,连接AB,OM⊥AB于点M.若BC= 8,OM= $\frac{5}{2}$,求⊙O的半径.

答案： 设$\odot O$的半径为$r$。
因为$AD$是$\odot O$的直径，$BC$是弦，且$AD\perp BC$于点$E$，
根据垂径定理，$BE = \frac{1}{2}BC = 4$。
设$AE = h$，则$OE = r - h$。
在$Rt\triangle OBE$中，根据勾股定理，有$OB^2 = OE^2 + BE^2$，即$r^2 = (r - h)^2 + 4^2$。
展开并整理得：$r^2 = r^2 - 2rh + h^2 + 16$，
进一步整理得：$2rh = h^2 + 16$，
即$h^2 - 2rh + 16 = 0$ 。
因为$OM\perp AB$，根据垂径定理，$AM = BM$。
在$Rt\triangle AOM$中，$AM^2 = AO^2 - OM^2 = r^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2$。
在$Rt\triangle AEB$中，$AB^2 = AE^2 + BE^2 = h^2 + 4^2$，
因为$AB = 2AM$，
所以$AB^2 = 4AM^2$，
即$h^2 + 16 = 4\left(r^2 - \frac{25}{4}\right)$。
展开并整理得：$h^2 + 16 = 4r^2 - 25$，
即$h^2 = 4r^2 - 41$。
将$h^2 = 4r^2 - 41$代入$2rh = h^2 + 16$中，
得$2rh = 4r^2 - 41 + 16$，
即$2rh = 4r^2 - 25$。
由$h^2 - 2rh + 16 = 0$可得$h = \frac{2r\pm\sqrt{4r^2 - 64}}{2}=r\pm\sqrt{r^2 - 16}$（舍负），
将$h = r + \sqrt{r^2 - 16}$代入$2rh = 4r^2 - 25$中，
$2r(r + \sqrt{r^2 - 16}) = 4r^2 - 25$，
$2r^2 + 2r\sqrt{r^2 - 16} = 4r^2 - 25$，
$2r\sqrt{r^2 - 16} = 2r^2 - 25$，
两边平方得：$4r^2(r^2 - 16) = (2r^2 - 25)^2$，
$4r^4 - 64r^2 = 4r^4 - 100r^2 + 625$，
$36r^2 = 625$，
$r^2 = \frac{625}{36}$，
解得$r = \frac{25}{6}$（$r＞0$）。
综上，$\odot O$的半径为$\frac{25}{6}$。