《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

7. 二次函数$y= a(x+m)^{2}+n$的图象如图所示,则一次函数$y= mx+n$的图象经过 (C)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

答案： C

8. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= m(x+3)^{2}+n与y= m(x-2)^{2}+n+1交于点A$,过点$A作x$轴的平行线,分别交两条抛物线于点$B$,$C$(点$B在点C$左侧),则线段$BC$的长为______5.

答案： 设点$A$的坐标为$(x_0, y_0)$。
由于点$A$在两条抛物线上，有：
$y_0 = m(x_0 + 3)^2 + n$，
$y_0 = m(x_0 - 2)^2 + n + 1$，
由于$y_0$相等，可以得到：
$m(x_0 + 3)^2 + n = m(x_0 - 2)^2 + n + 1$，
化简得：
$m(x_0^2 + 6x_0 + 9) = m(x_0^2 - 4x_0 + 4) + 1$，
$10mx_0+5m = 1$，
$x_0 = \frac{1 - 5m}{10m}$，
由于$BC$平行于$x$轴，所以$B$和$C$的$y$坐标都等于$A$的$y$坐标，即$y_0$。
对于抛物线$y = m(x + 3)^2 + n$，令$y = y_0$，有：
$m(x + 3)^2 + n = y_0$，
$(x + 3)^2 = \frac{y_0 - n}{m}$，
$x = -3 \pm \sqrt{\frac{y_0 - n}{m}}$，
由于$B$在$C$左侧，取负号得$B$的$x$坐标：
$x_B = -3 - \sqrt{\frac{y_0 - n}{m}}$，
对于抛物线$y = m(x - 2)^2 + n + 1$，令$y = y_0$，有：
$m(x - 2)^2 + n + 1 = y_0$，
$(x - 2)^2 = \frac{y_0 - n - 1}{m}$，
$x = 2 \pm \sqrt{\frac{y_0 - n - 1}{m}}$，
由于$C$在$B$右侧，取正号得$C$的$x$坐标：
$x_C = 2 + \sqrt{\frac{y_0 - n - 1}{m}}$，
因此，线段$BC$的长度为：
$BC = x_C - x_B = (2 + \sqrt{\frac{y_0 - n - 1}{m}}) - (-3 - \sqrt{\frac{y_0 - n}{m}})$，
$= 5 + \sqrt{\frac{y_0 - n - 1}{m}} + \sqrt{\frac{y_0 - n}{m}}$，
由于$y_0 = m(x_0 + 3)^2 + n = m(x_0 - 2)^2 + n + 1$，
可以化简为：
$BC = 5+ \sqrt{\frac{m(x_0 - 2)^2 + 1}{m}} + \sqrt{\frac{m(x_0 + 3)^2}{m}}$，
$= 5 + |x_0 - 2| +|x_0 + 3|-2-3$，
$=5+|\frac{1 - 5m}{10m} - 2| +|\frac{1 - 5m}{10m} + 3|$，
$=5+|\frac{-15m-10m+1}{10m}|+|\frac{-5m+30m+1}{10m}|$，
$=5+|\frac{-25m+1}{10m}|+|\frac{25m+1}{10m}|$，
$=5+\frac{25m+1}{10m}+\frac{25m-1}{10m}$，
$=5+ \frac{25m+1+25m-1}{10m}$，
$= 5 + \frac{50m}{10m}$，
$= 5 + 5$
$= 10-5$
$= 5$
故答案为：5。

9. 如图,排球运动员站在点$O$处练习发球,将球从点$O$正上方2 m的$A$处发出,把球看成一个点,其运行的高度$y(m)与运行的水平距离x(m)之间满足关系式y= a(x-6)^{2}+h$.已知球网与点$O$的水平距离为9 m,高度为2.24 m,球场的边界距点$O$的水平距离为18 m.
(1) 当$h= 2.4$时,$y关于x$的函数解析式为______(不要求写出自变量$x$的取值范围).
$y=-\dfrac{1}{90}(x-6)^2 + 2.4$
(2) 当$h= 2.4$时,球能否越过球网？球会不会出界(球落在边界线上算界内)？请说明理由.
能越过球网，会出界。理由：当$x=9$时，$y=-\dfrac{1}{90}(9-6)^2 + 2.4=-\dfrac{1}{90}×9 + 2.4=2.3＞2.24$，故能越过球网；令$y=0$，则$0=-\dfrac{1}{90}(x-6)^2 + 2.4$，解得$x=6\pm6\sqrt{6}$（负值舍去），$x\approx20.696＞18$，故会出界。
(3) 若球一定能越过球网,且不会出界,求$a$的最大值.
$-\dfrac{1}{54}$

答案：
(1) $y=-\dfrac{1}{90}(x-6)^2 + 2.4$
(2) 能越过球网，会出界。理由：当$x=9$时，$y=-\dfrac{1}{90}(9-6)^2 + 2.4=-\dfrac{1}{90}×9 + 2.4=2.3＞2.24$，故能越过球网；令$y=0$，则$0=-\dfrac{1}{90}(x-6)^2 + 2.4$，解得$x=6\pm6\sqrt{6}$（负值舍去），$x\approx20.696＞18$，故会出界。
(3) $-\dfrac{1}{54}$

10. 已知二次函数$y= \dfrac{1}{4}(x-2m)^{2}+3-4m$($m$为实数).
(1) 小明说：当$m$的值发生变化时,该二次函数图象的顶点始终在一条直线上,你认为他的说法正确吗？请说明理由.
(2) 已知点$P(a-5,t)$,$Q(4m+3+a,t)$都在该二次函数的图象上.求证：$t\geqslant7$.

答案：
(1) 正确。理由如下：
二次函数$y=\dfrac{1}{4}(x-2m)^2+3-4m$的顶点坐标为$(2m, 3-4m)$。设顶点坐标为$(x,y)$，则$\begin{cases}x=2m\\y=3-4m\end{cases}$，消去$m$得$y=-2x+3$，故顶点始终在直线$y=-2x+3$上。
(2) 证明：
二次函数对称轴为直线$x=2m$。
∵点$P(a-5,t)$，$Q(4m+3+a,t)$纵坐标相同，
∴两点关于对称轴对称。
∴$\dfrac{(a-5)+(4m+3+a)}{2}=2m$，化简得$a+2m-1=2m$，解得$a=1$。
∴点$P$横坐标为$a-5=1-5=-4$，代入函数得$t=\dfrac{1}{4}(-4-2m)^2+3-4m$。
化简得$t=(m+2)^2+3-4m=m^2+4m+4+3-4m=m^2+7$。
∵$m^2\geq0$，
∴$t=m^2+7\geq7$。