《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.将下列二次函数写成$y= a(x-k)^{2}+h$的形式：
(1)$y= x^{2}-8x-9=$$(x - 4)^{2} - 25$；
(2)$y= -x^{2}+4x-5=$$- (x - 2)^{2} - 1$；
(3)$y= 5x^{2}-10x+7=$$5(x - 1)^{2} + 2$；
(4)$y= -\frac {1}{4}x^{2}+x-4=$$-\frac{1}{4}(x - 2)^{2} - 3$.

答案：
(1)解：
$y = x^{2} - 8x - 9$
$= x^{2} - 8x + 16 - 25$
$= (x - 4)^{2} - 25$
(2)解：
$y = -x^{2} + 4x - 5$
$= - (x^{2} - 4x + 4) - 1$
$= - (x - 2)^{2} - 1$
(3)解：
$y = 5x^{2} - 10x + 7$
$= 5(x^{2} - 2x + 1) + 2$
$= 5(x - 1)^{2} + 2$
(4)解：
$y = -\frac{1}{4}x^{2} + x - 4$
$= -\frac{1}{4}(x^{2} - 4x + 4) - 3$
$= -\frac{1}{4}(x - 2)^{2} - 3$

2.已知二次函数$y= x^{2}+5x+1$,用配方法将其化成$y= a(x-h)^{2}+k$的形式为$y= (x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{21}{4}$.当$x=$$-\frac{5}{2}$时,y有最小值,为$-\frac{21}{4}$.

答案： 答题卡：
解：
首先，我们将二次函数$y= x^{2}+5x+1$进行配方。
配方过程为：
$y= x^{2}+5x+1$
$= x^{2}+5x+(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}+1$
$= (x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{25}{4}+1$
$= (x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{21}{4}$
所以，二次函数$y= x^{2}+5x+1$可以化成$y= (x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{21}{4}$的形式。
接下来，我们找出函数的最大值或最小值。
由于二次函数的开口方向向上（因为$a=1＞0$），所以函数有最小值。
最小值出现在对称轴上，即$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2}$。
将$x=-\frac{5}{2}$代入原函数，得到最小值为$y=-\frac{21}{4}$。
故答案为：$y= (x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{21}{4}$；$-\frac{5}{2}$；小；$-\frac{21}{4}$。

3.抛物线$y= -x^{2}-6x-7$的顶点坐标是(B)
A.$(2,3)$
B.$(-3,2)$
C.$(-3,-2)$
D.$(3,-2)$

答案： 对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于给定的抛物线$y = -x^{2} - 6x - 7$，有$a = -1, b = -6, c = -7$。
计算横坐标：$-\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(-1)} = -3$，
计算纵坐标：$c - \frac{b^{2}}{4a} = -7 - \frac{(-6)^{2}}{4(-1)} = -7 + 9 = 2-7+(-9÷(-4))=2$（这里因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下，顶点为最高点，也可以直接代入$x=-3$求得$y$值），
但考虑到计算简便性，可以直接代入$x = -3$到原方程中求得$y$值：
$y = -(-3)^{2} - 6(-3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2-(-9+6)-7=2$，
所以，抛物线的顶点坐标为$(-3, 2-9+7+2) = (-3, 2-2+(-7+9)) = (-3, 2)$的对称性质计算得到$y$坐标更直接为$(-3, -(-9)+(-7)-6×(-3)÷(-1)) = (-3, 2)$，即$(-3, 2-(-9+(-7-18))) = (-3, 2)$。
综上，抛物线$y = -x^{2} - 6x - 7$的顶点坐标是$(-3, 2-9+7+(-(-6×(-3)÷2))) = (-3, 2)$。
故答案为：B. $(-3, 2)$。

4.已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,那么点$P(a,b)$在(B)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
]

答案： B

5.关于二次函数$y= -x^{2}-2x+3$,下列说法正确的是(C)
A.图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$
B.图象的对称轴为直线$x= 1$
C.当$x＞-1$时,y随x的增大而减小
D.y有最大值3

答案： A. 对于二次函数$y = -x^{2} - 2x + 3$，当$x = 0$时，$y = 3$。
所以，图象与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，与选项A中的$(0,-3)$不符，故A错误。
B. 二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
将$a = -1$和$b = -2$代入，得到对称轴为$x = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$，与选项B中的$x = 1$不符，故B错误。
C. 由于$a = -1 ＜ 0$，二次函数的开口向下。
结合对称轴$x = -1$，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，与选项C描述一致，故C正确。
D. 由于二次函数的开口向下，函数具有最大值。
最大值出现在对称轴上，即$x = -1$处。
将$x = -1$代入原函数，得到$y = -(-1)^{2} - 2(-1) + 3 = 4$。
所以，$y$的最大值为4，与选项D中的3不符，故D错误。
综上，只有选项C正确。

6.若点$A(3,y_{1}),B(4,y_{2}),C(5,y_{3})$均在抛物线$y= 2x^{2}+4x+m$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是(D)
A.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
B.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$

答案： 答题卡：
解：
首先，我们将给定的二次函数$y = 2x^{2} + 4x + m$进行配方，得到$y = 2(x + 1)^{2} + m - 2$。
由此，我们可以确定该抛物线的对称轴为直线$x = - 1$，并且由于二次项系数$a=2＞0$，所以抛物线开口向上。
然后，我们考虑点$A(3,y_{1}),B(4,y_{2}),C(5,y_{3})$到对称轴的距离。
点A到对称轴的距离为$|3 - (-1)| = 4$，
点B到对称轴的距离为$|4 - (-1)| = 5$，
点C到对称轴的距离为$|5 - (-1)| = 6$。
由于抛物线开口向上，根据二次函数的性质，我们知道距离对称轴越远，函数值越大。
因此，我们有$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$。
故答案为：D. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$。

7.将抛物线$y= x^{2}+4x+5$向右平移2个单位长度后,所得抛物线的解析式为______$y = x^{2} + 1$.

答案： 首先，将原抛物线方程 $y = x^{2} + 4x + 5$ 化为顶点式。
$y = x^{2} + 4x + 5 = (x + 2)^{2} - 4 + 5 = (x + 2)^{2} + 1$，
原抛物线的顶点坐标为 $(-2, 1)$。
根据平移规律，向右平移 2 个单位长度后，新的顶点坐标为 $(0, 1)$。
根据新的顶点坐标，写出平移后的抛物线方程。
$y = x^{2} + 1$，
故答案为：$y = x^{2} + 1$。

8.已知抛物线$y= -\frac {1}{2}x^{2}+x+4.$
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该抛物线,并说明该抛物线是由抛物线$y= -\frac {1}{2}x^{2}$经过怎样的平移得到的.
(3)根据图象回答：当x取何值时,y随x的增大而增大？当x取何值时,y随x的增大而减小？

答案：
(1) 开口方向：向下；顶点坐标：(1, 9/2)；对称轴：直线x=1。
(2) 平移过程：由抛物线y=-1/2x²向右平移1个单位，再向上平移9/2个单位得到。
(3) 当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小。