《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.【教材 P87 例 4】如图,$\odot O$的直径 AB 为 10 cm,弦 AC 为 6 cm,$\angle ACB的平分线交\odot O$于点 D,求 BC,AD,BD 的长.

答案： 在Rt△ACB中，AB为直径，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，由勾股定理得：BC²=AB²-AC²=10²-6²=64，
∴BC=8cm。
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°。
∵∠ACD与∠ABD所对弧均为AD，
∴∠ABD=∠ACD=45°；同理∠BAD=∠BCD=45°。
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，则△ADB为等腰直角三角形，设AD=BD=x，由勾股定理得：x²+x²=10²，2x²=100，x²=50，
∴x=5√2，即AD=BD=5√2cm。
BC=8cm，AD=5√2cm，BD=5√2cm。

2. 如图,AB 是$\odot O$的直径,弦 CD 平分$\angle ACB$,连接 AD,BD. 求证：$S_{四边形ACBD}= \frac{1}{2}CD^{2}$.

答案： 证明：
1.
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对圆周角是直角）。
2.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°。
3.
∵∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°（同弧所对圆周角相等），
∴△ADB是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°。
4. 过A作AM⊥CD于M，过B作BN⊥CD于N，则S△ACD=1/2·CD·AM，S△BCD=1/2·CD·BN，故S四边形ACBD=1/2·CD(AM+BN)。
5. 设∠ADM=β（∠ADM=∠ABC，同弧AC），则AM=AD·sinβ；∠BDN=α（∠BDN=∠BAC，同弧BC），α+β=90°（∠ADB=90°），BN=BD·sinα=AD·sinα（AD=BD）。
6.
∴AM+BN=AD(sinα+sinβ)=AD(sinα+cosα)（β=90°-α，sinβ=cosα）。
7. 在△ABD中，AD=AB·sin45°=AB·√2/2，故AM+BN=AB·√2/2(sinα+cosα)。
8. 在△ABC中，由正弦定理得BC=AB·sinα，AC=AB·cosα；在△ACD中，∠CAD=45°+α，由正弦定理得CD=AB·sin(45°+α)。
9.
∵sin(45°+α)=√2/2(sinα+cosα)，
∴CD=AB·√2/2(sinα+cosα)=AM+BN。
10.
∴S四边形ACBD=1/2·CD·CD=1/2CD²。
即证：$S_{四边形ACBD}= \frac{1}{2}CD^{2}$。

3. 如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,AC 为$\odot O$的直径,点 B 为$\widehat{AC}$的中点,连接 BD.
(1)试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)若$AD+CD= 6$,求 BD 的长.

答案：
(1)等腰直角三角形；
(2)3√2。