《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.填写下面表格：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y= 3x^{2}+5$ | | | |
| $y= -3x^{2}-5$ | | | |

答案： 对于二次函数$y = ax^{2} + k$：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
对称轴为$y$轴（即$x = 0$）。
顶点坐标为$(0,k)$。
对于$y = 3x^{2} + 5$：
开口方向：因为$a = 3\gt0$，所以开口向上。
对称轴：$x = 0$。
顶点坐标：$(0,5)$。
对于$y = -3x^{2} - 5$：
开口方向：因为$a = -3\lt0$，所以开口向下。
对称轴：$x = 0$。
顶点坐标：$(0,-5)$。
故表格填写如下：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = 3x^{2} + 5$ | 向上 | $x = 0$ | $(0,5)$ |
| $y = -3x^{2} - 5$ | 向下 | $x = 0$ | $(0,-5)$ |

2.二次函数$y= -x^{2}+1$的大致图象为(B)

答案： B。

3.抛物线$y= -x^{2},y= -3x^{2}+1,y= 2x^{2}-3$共有的性质是(C)
A.开口向上
B.都有最高点
C.对称轴是y轴
D.y随x的增大而减小

答案： 选择C。
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。
对于$y=-x^2$，对称轴为$x=0$，即y轴，开口向下，有最高点；
对于$y=-3x^2+1$，对称轴为$x=0$，即y轴，开口向下，有最高点；
对于$y=2x^2-3$，对称轴为$x=0$，即y轴，开口向上，有最低点。
A. $y=-x^2$和$y=-3x^2+1$的开口向下，而$y=2x^2-3$的开口向上，所以A选项错误；
B. $y=-x^2$和$y=-3x^2+1$有最高点，但$y=2x^2-3$有最低点，所以B选项错误；
C. 三条抛物线的对称轴都是$x=0$，即y轴，所以C选项正确；
D. 对于$y=-x^2$和$y=-3x^2+1$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；但对于$y=2x^2-3$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以D选项错误。
故答案为：C。

4.关于二次函数$y= -2x^{2}+1$的图象,下列说法正确的是(D)
A.对称轴是直线$x= 1$
B.顶点坐标为$(-2,1)$
C.有最小值1
D.在y轴的右侧,抛物线从左到右下降

答案： 4.解：
A. 对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。对于函数$y = -2x^{2} + 1$，其中$a = -2$，$b = 0$，所以对称轴为$x = 0$，即y轴，故A选项错误。
B. 二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。对于函数$y = -2x^{2} + 1$，其顶点坐标为$(0, 1)$，与B选项给出的$(-2,1)$不符，故B选项错误。
C. 由于二次函数的系数$a = -2 ＜ 0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值而非最小值，且最大值为顶点的y坐标，即1，故C选项错误。
D. 由于抛物线开口向下，对称轴为y轴，所以在y轴的右侧（即$x ＞ 0$的区间内），抛物线从左到右是下降的，故D选项正确。
故答案为：D。

5.已知点$(-2,y_{1}),(-1,y_{2})在抛物线y= ax^{2}-1$上,且$y_{1}＞y_{2}$,则a的取值范围是______$a＞0$.

答案： 将点$(-2,y_{1})$代入$y = ax^{2}-1$，得$y_{1}=a×(-2)^{2}-1=4a - 1$；
将点$(-1,y_{2})$代入$y = ax^{2}-1$，得$y_{2}=a×(-1)^{2}-1=a - 1$；
因为$y_{1}＞y_{2}$，所以$4a - 1＞a - 1$；
移项得$4a - a＞-1 + 1$；
合并同类项得$3a＞0$；
解得$a＞0$。
$a＞0$

6.将抛物线$y= -\dfrac{3}{4}x^{2}$向上平移2个单位长度,所得抛物线的解析式是$y= -\dfrac{3}{4}x^{2} + 2$.

答案： 答题卡：
6. 解：原抛物线为 $y= -\dfrac{3}{4}x^{2}$。
根据平移规律，向上平移2个单位长度，即在原函数的基础上加2。
所得抛物线的解析式为 $y= -\dfrac{3}{4}x^{2} + 2$。
故答案为：$y= -\dfrac{3}{4}x^{2} + 2$。

【变式】抛物线$y= -3x^{2}$可由抛物线$y= -3x^{2}+5$向下平移5个单位长度得到.

答案： 下；5

7.在同一平面直角坐标系中,画出函数$y= \dfrac{1}{2}x^{2},y= \dfrac{1}{2}x^{2}+1和y= \dfrac{1}{2}x^{2}-1$的图象.
(1)请填写下表,并画出二次函数图象：
| x | ... | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | ... |
| $y= \dfrac{1}{2}x^{2}$ | ... | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | ... |
| $y= \dfrac{1}{2}x^{2}+1$ | ... | 9 | 3 | 1 | 3 | 9 | ... |
| $y= \dfrac{1}{2}x^{2}-1$ | ... | 7 | 1 | -1 | 1 | 7 | ... |

(2)说明二次函数$y= \dfrac{1}{2}x^{2}+1和y= \dfrac{1}{2}x^{2}-1的图象可以由二次函数y= \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象经过怎样的变换得到.
二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 1$的图象可以由二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象向上平移$1$个单位得到；二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2} - 1$的图象可以由二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象向下平移$1$个单位得到。

答案：
(1)
| $x$ | $\cdots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y = \dfrac{1}{2}x^{2}$ | $\cdots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\cdots$ |
| $y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 1$ | $\cdots$ | $9$ | $3$ | $1$ | $3$ | $9$ | $\cdots$ |
| $y = \dfrac{1}{2}x^{2} - 1$ | $\cdots$ | $7$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $7$ | $\cdots$ |
图象：分别以$( - 4,8)$，$( - 2,2)$，$(0,0)$，$(2,2)$，$(4,8)$等点描出$y = \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象；以$( - 4,9)$，$( - 2,3)$，$(0,1)$，$(2,3)$，$(4,9)$等点描出$y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 1$的图象；以$( - 4,7)$，$( - 2,1)$，$(0, - 1)$，$(2,1)$，$(4,7)$等点描出$y = \dfrac{1}{2}x^{2} - 1$的图象。
(2)
二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 1$的图象可以由二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象向上平移$1$个单位得到；二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2} - 1$的图象可以由二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2}$的图象向下平移$1$个单位得到。