《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 不解方程,直接写出下列方程的两根之和与两根之积:
(1)$x^{2}+4x-5= 0$,$x_{1}+x_{2}=$$-4$,$x_{1}x_{2}=$$-5$;
(2)$2x^{2}+4x= 3$,$x_{1}+x_{2}=$$-2$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{3}{2}$;
(3)$x(3x-1)-1= 0$,$x_{1}+x_{2}=$$\frac{1}{3}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{1}{3}$;
(4)$(2x+5)(x+1)= x+7$,$x_{1}+x_{2}=$$-3$,$x_{1}x_{2}=$$-1$.

答案：
(1) 对于方程 $x^{2} + 4x - 5 = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = -4$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = -5$
(2) 对于方程 $2x^{2} + 4x = 3$，
首先化为一般形式：$2x^{2} + 4x - 3 = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{2} = -2$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{3}{2}$
(3) 对于方程 $x(3x - 1) - 1 = 0$，
首先化为一般形式：$3x^{2} - x - 1 = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{1}{3}$
(4) 对于方程 $(2x + 5)(x + 1) = x + 7$，
首先化为一般形式：$2x^{2} + 5x + 2x + 5 = x + 7$，
$2x^{2} + 6x - 2 = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = -3$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{2}{2} = -1$
故答案为：
(1) $-4$；$-5$
(2) $-2$；$- \frac{3}{2}$
(3) $\frac{1}{3}$；$- \frac{1}{3}$
(4) $-3$；$-1$

2. 下列方程都有实数根,其中满足两个实数根的和为3的是 (C)
A.$2x^{2}+6x-5= 0$
B.$2x^{2}-3x-5= 0$
C.$2x^{2}-6x-5= 0$
D.$2x^{2}+3x-5= 0$

答案： 对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 的和由公式 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 给出。
A. 对于方程 $2x^{2} + 6x - 5 = 0$，其 $a = 2, b = 6$，所以 $x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$，不满足和为3的条件。
B. 对于方程 $2x^{2} - 3x - 5 = 0$，其 $a = 2, b = -3$，所以 $x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，不满足和为3的条件。
C. 对于方程 $2x^{2} - 6x - 5 = 0$，其 $a = 2, b = -6$，所以 $x_1 + x_2 = \frac{6}{2} = 3$，满足和为3的条件。
D. 对于方程 $2x^{2} + 3x - 5 = 0$，其 $a = 2, b = 3$，所以 $x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$，不满足和为3的条件。
故满足条件的选项是 C。

3. 若一元二次方程$x^{2}-2x-3= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$的值为 (B)
A.1
B.-1
C.0
D.3

答案： 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根据根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = -3$。
根据根与系数的关系，可以得到：
$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{1} = -3$
题目要求 $x_1 + x_1 x_2 + x_2$ 的值，根据上面得到的 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \cdot x_2$，有：
$x_1 + x_1 x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) + x_1 \cdot x_2 = 2 + (-3) = -1$
故答案为：B. $-1$

4. 已知m,n是方程$x^{2}-2x-1= 0$的两个实数根,则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为-2.

答案： -2

5. 若方程$x^{2}-2x-4= 0$的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,则$\alpha^{2}+\beta^{2}$的值为12.

答案： 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个实数根为 $\alpha$ 和 $\beta$，根据根与系数的关系，有：
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}$，
对于方程 $x^2 - 2x - 4 = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = -4$。
根据根与系数的关系，得到：
$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2, \quad \alpha\beta = \frac{-4}{1} = -4$，
利用平方差公式，有：
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$，
代入 $\alpha + \beta = 2$ 和 $\alpha\beta = -4$，得到：
$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 - 2 × (-4) = 4 + 8 = 12$，
故答案为：$12$。

6. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-3x-6= 0$的两个根,求下列代数式的值.
(1)$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$;
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$;
(3)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.

答案：
(1) 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根 $x_1, x_2$ 的和与积分别为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$，
由题意，方程 $x^2 - 3x - 6 = 0$ 的两个根为 $x_1, x_2$，所以：
$x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 × x_2 = -6$，
因此，
$x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) = -6 - 3 = -9$。
(2) 利用平方差公式，我们有：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入 $x_1 + x_2 = 3$ 和 $x_1 × x_2 = -6$，得到：
$(x_1 - x_2)^2 = 3^2 - 4 × (-6) = 9 + 24 = 33$。
(3) 利用分数的加法公式，我们有：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$，
又因为：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入 $x_1 + x_2 = 3$ 和 $x_1 × x_2 = -6$，得到：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{3^2 - 2 × (-6)}{-6} = \frac{9 + 12}{-6} = -\frac{7}{2}$。

7. 已知$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+b= 0$的两个根,且$x_{1}+x_{2}= 3$,$x_{1}x_{2}= 1$,则a,b的值分别是 (D)
A.3,1
B.3,-1
C.$\frac{3}{2},-1$
D.$-\frac{3}{2},1$

答案： D

8. 若关于x的方程$x^{2}-mx-4= 0$的一个根$x_{1}= 3$,则另一个根$x_{2}= $$-\frac{4}{3}$,m的值为$\frac{5}{3}$.

答案： 已知方程$x^{2}-mx - 4=0$的一个根$x_{1}=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^{2}+bx + c=0$（$a\neq0$），两根$x_{1}$，$x_{2}$有$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^{2}-mx - 4=0$中，$a = 1$，$b=-m$，$c=-4$。
因为$x_{1}=3$，所以$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-4$，即$3x_{2}=-4$，解得$x_{2}=-\frac{4}{3}$。
又因为$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=m$，所以$3 + (-\frac{4}{3})=m$，即$m=\frac{9}{3}-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$。
$-\frac{4}{3}$；$\frac{5}{3}$

9. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+6x+2m+1= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}\geqslant8$,求m的取值范围.

答案：
(1) 对于一元二次方程 $x^{2}+6x+2m+1= 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
其中，$a = 1, b = 6, c = 2m + 1$。
代入得：
$\Delta = 6^{2} - 4(1)(2m + 1) = 36 - 8m - 4 = 32 - 8m$
由于方程有实数根，所以 $\Delta \geqslant 0$，
即：$32 - 8m \geqslant 0$
解得：$m \leqslant 4$
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = -b/a = -6$
$x_{1}x_{2} = c/a = 2m + 1$
代入给定的不等式 $2x_{1}x_{2} - x_{1} - x_{2} \geqslant 8$，我们得到：
$2(2m + 1) + 6 \geqslant 8$
即：$4m + 2 + 6 \geqslant 8$
$4m \geqslant 0$
解得：$m \geqslant 0$
结合
(1)中的结果，我们得到：
$0 \leqslant m \leqslant 4$