《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

9. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+b= 0$有实数根,则 (C)
A.$a\neq0,b＞0$
B.$a\neq0,b＜0$
C.$a\neq0$,a,b异号或$b= 0$
D.$a\neq0,b\leq0$

答案： 答：C
解：
1. 由于方程 $ax^{2}+b=0$ 是一元二次方程，所以系数 $a \neq 0$。
2. 将方程 $ax^{2}+b=0$ 改写为 $ax^{2} = -b$。
3. 为了使方程有实数根，方程左侧 $ax^{2}$ 必须能够等于或大于0（因为平方项总是非负的），所以右侧 $-b$ 也必须能够等于或大于0。
4. 当 $b = 0$ 时，方程变为 $ax^{2} = 0$，此时 $x = 0$ 是方程的实数根。
5. 当 $a$ 和 $b$ 异号时，即 $ab ＜ 0$，则 $-b ＞ 0$（当 $a ＞ 0$）或 $-b ＜ 0$ 但 $ax^{2}$ 可以取到正值（当 $a ＜ 0$），因此方程有实数根。
6. 综上，$a \neq 0$，且 $a, b$ 异号或 $b = 0$。
故选 C。

10. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程3(x-1)^{2}= 15$的两个根,且$x_{1}＜x_{2}$,则下列说法正确的是 (A)
A.$x_{1}$小于-1,$x_{2}$大于3
B.$x_{1}$小于-2,$x_{2}$大于3
C.$x_{1},x_{2}$在-1和3之间
D.$x_{1},x_{2}$都小于3

答案： $3(x - 1)^{2} = 15$，
$(x - 1)^{2} = 5$，
$x - 1 = \pm \sqrt{5}$，
解得$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$，$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$。
因为$ \sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}$，即$2 \lt \sqrt{5} \lt 3$，
所以$-3 \lt -\sqrt{5} \lt -2$，则$-3+1 \lt 1- \sqrt{5} \lt -2+1$，即$-2 \lt x_{1} \lt -1$；
$1+2 \lt 1+\sqrt{5} \lt 1+3$，即$3 \lt x_{2} \lt 4$。
所以$x_{1}$小于-1，$x_{2}$大于3，答案选A。

11. 若关于x的一元二次方程$(ax-1)^{2}-49= 0$的一个根是2,则a的值是4或-3.

答案： 将$x = 2$代入方程$(ax - 1)^2 - 49 = 0$，得：
$(2a - 1)^2 - 49 = 0$
移项，得：
$(2a - 1)^2 = 49$
直接开平方，得：
$2a - 1 = \pm 7$
当$2a - 1 = 7$时，$2a = 8$，解得$a = 4$；
当$2a - 1 = -7$时，$2a = -6$，解得$a = -3$。
$a = 4$或$a = -3$

12. 若$(m^{2}+n^{2}-1)^{2}= 9$,则$m^{2}+n^{2}$的值为4.

答案： $4$。

13. 解下列方程：
(1)$x^{2}+3= 2\sqrt{3}x$；
(2)$(3x-1)^{2}= (x+1)^{2}$；
(3)$2x^{2}-12x+18= 7$；
(4)$4x^{2}+4x+1= (x-1)^{2}$.

答案：
(1)移项得$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3=0$，配方得$(x-\sqrt{3})^{2}=0$，开平方得$x-\sqrt{3}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。
(2)开平方得$3x - 1=\pm(x + 1)$。当$3x - 1=x + 1$时，$2x=2$，解得$x=1$；当$3x - 1=-(x + 1)$时，$4x=0$，解得$x=0$。综上，$x_{1}=1$，$x_{2}=0$。
(3)原方程化简为$2x^{2}-12x + 11=0$，两边同除以2得$x^{2}-6x+\frac{11}{2}=0$，配方得$(x - 3)^{2}=\frac{7}{2}$，开平方得$x - 3=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$，解得$x_{1}=3+\frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=3-\frac{\sqrt{14}}{2}$。
(4)左边化为$(2x + 1)^{2}$，方程变为$(2x + 1)^{2}=(x - 1)^{2}$，开平方得$2x + 1=\pm(x - 1)$。当$2x + 1=x - 1$时，$x=-2$；当$2x + 1=-(x - 1)$时，$3x=0$，解得$x=0$。综上，$x_{1}=-2$，$x_{2}=0$。

14. 在实数范围内定义一种新运算“▽”,规定：$a▽b= a^{2}-b^{2}$.
(1)若$(x+2)▽5= 0$,求x的值；
(2)若$x▽(3▽4)= 15$,求x的值.

答案：
(1)
根据新运算“▽”的定义，有
$(x + 2)▽5 = (x + 2)^{2} - 5^{2}$
由题意，$(x + 2)▽5 = 0$，代入上式得
$(x + 2)^{2} - 25 = 0$
即
$(x + 2)^{2} = 25$
开方得
$x + 2 = \pm 5$
解得
$x_{1} = 3, \quad x_{2} = -7$
(2)
首先计算内层运算$3▽4$，根据定义有
$3▽4 = 3^{2} - 4^{2} = 9 - 16 = -7$
然后代入外层运算$x▽(3▽4) = 15$，得
$x▽(-7) = 15$
即
$x^{2} - (-7)^{2} = 15$
化简得
$x^{2} - 49 = 15$
进一步得
$x^{2} = 64$
开方得
$x = \pm 8$

15. 已知关于x的一元二次方程$(mx+n)^{2}= p的根为x_{1}= 2,x_{2}= -1$,则关于y的一元二次方程$(my-2m+n)^{2}= p$的根为______$y_1=4$，$y_2=1$.

答案： 因为关于$x$的方程$(mx + n)^2 = p$的根为$x_1 = 2$，$x_2=-1$，则$mx + n = \pm\sqrt{p}$的解为$x=2$或$x=-1$。
对于关于$y$的方程$(my - 2m + n)^2 = p$，可变形为$[m(y - 2) + n]^2 = p$。令$t = y - 2$，则方程化为$(mt + n)^2 = p$，此方程与关于$x$的方程形式相同，故$t = 2$或$t=-1$。
当$t = 2$时，$y - 2 = 2$，解得$y = 4$；当$t=-1$时，$y - 2=-1$，解得$y = 1$。
$y_1=4$，$y_2=1$

16. 已知一元二次方程$(2x-5)^{2}= 4$的两个根恰好是Rt△ABC的两条边,求Rt△ABC的第三条边长.

答案： 1. 解方程$(2x - 5)^2 = 4$：
开平方得$2x - 5 = ±2$，
当$2x - 5 = 2$时，$2x = 7$，$x = \frac{7}{2}$；
当$2x - 5 = -2$时，$2x = 3$，$x = \frac{3}{2}$。
故方程两根为$\frac{7}{2}$和$\frac{3}{2}$。
2. 分情况讨论Rt△ABC的第三条边：
（1）若$\frac{7}{2}$和$\frac{3}{2}$为两条直角边，
则第三条边（斜边）长为$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{49 + 9}{4}} = \sqrt{\frac{58}{4}} = \frac{\sqrt{58}}{2}$；
（2）若$\frac{7}{2}$为斜边，$\frac{3}{2}$为直角边，
则第三条边（直角边）长为$\sqrt{(\frac{7}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{49 - 9}{4}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10}$。
3. 结论：Rt△ABC的第三条边长为$\frac{\sqrt{58}}{2}$或$\sqrt{10}$。