《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

6. 一位篮球运动员在与篮圈中心水平距离为4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内.已知篮圈中心距离地面的高度为3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是 (C)
A.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
B.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
C.此抛物线对应的函数解析式是$y= -\frac{1}{5}x^{2}+3.5$
D.篮球出手时离地面的高度是2 m

答案： 1. 首先分析选项A：
已知篮球运动员在与篮圈中心水平距离为$4m$处起跳投篮，当球运动的水平距离为$2.5m$时达到最大高度，所以篮圈中心的横坐标是$4 - 2.5=1.5$，纵坐标是$3.05$，即篮圈中心坐标是$(1.5,3.05)$，A选项**错误**。
2. 然后分析选项B：
因为当球运动的水平距离为$2.5m$时，达到最大高度$3.5m$，所以抛物线的顶点坐标是$(0,3.5)$，B选项**错误**。
3. 接着分析选项C：
设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+3.5$（顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$，这里$h = 0$，$k = 3.5$）。
把篮圈中心$(1.5,3.05)$代入$y = ax^{2}+3.5$得：
$3.05=a×(1.5)^{2}+3.5$。
即$2.25a=3.05 - 3.5=-0.45$。
解得$a=-\frac{1}{5}$。
所以抛物线解析式为$y =-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$，C选项**正确**。
4. 最后分析选项D：
当$x=-2.5$时（因为运动员在与篮圈中心水平距离为$4m$处，顶点在$x = 0$处，所以运动员投篮时$x=-2.5$），代入$y =-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$。
$y=-\frac{1}{5}×(-2.5)^{2}+3.5$。
$y=-\frac{1}{5}×6.25 + 3.5$。
$y=-1.25 + 3.5=2.25(m)$，D选项**错误**。
综上，答案是C。

7. 如图,一座温室实验室的横截面由抛物线$y= -\frac{1}{16}x^{2}+bx+c$的一部分和矩形OAA'B组成,矩形的长为16 m,宽为4 m,CD为一排平行于地面的加湿管.
(1)求抛物线的解析式,并计算出拱顶到地面的距离.
(2)若加湿管的长度为12 m,求加湿管到拱顶的距离.
(3)在(2)的条件下,若在加湿管CD的上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行),且恒温管与加湿管相距1.25 m,则恒温管的长度为多少米?

答案：
(1)
由已知得$A(0,4)$，$B(16,4)$。
把$A(0, 4)$，$B(16,4)$代入$y = -\frac{1}{16}x^{2}+bx + c$得：
$\begin{cases}c = 4\\-\frac{1}{16}×16^{2}+16b + c = 4\end{cases}$
即$\begin{cases}c = 4\\-16 + 16b + c = 4\end{cases}$
把$c = 4$代入$-16 + 16b + c = 4$得：
$-16+16b + 4 = 4$
$16b=16$
$b = 1$
所以抛物线解析式为$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$。
对于$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$，可化为$y = -\frac{1}{16}(x - 8)^{2}+8$，所以拱顶坐标为$(8,8)$，拱顶到地面的距离为$8m$。
(2)
因为$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$，当$y = 4 + (8 - 12)=0$时（这里$4$是矩形的高，$8$是拱顶纵坐标，$12$是加湿管一半长度对应的纵坐标差值思路，实际是求$y = 4$时$x$值），令$y = 4$，则$4=-\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$，
$-\frac{1}{16}x^{2}+x=0$，$x(-\frac{1}{16}x + 1)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=16$（舍去），当$y$为加湿管所在高度时，由对称性，设加湿管到拱顶距离为$h$，拱顶纵坐标$8$，加湿管一半长度为$6$，根据抛物线对称性，把$x = 6$代入$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$得$y = -\frac{1}{16}×6^{2}+6 + 4=-\frac{9}{4}+6 + 4=\frac{-9 + 24+16}{4}=\frac{31}{4}=7.75$，$h = 8 - 7.75 = 0.25×4 = 3m$。
另一种方法：因为加湿管长$12m$，则一半长$6m$，把$x = 6$代入$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$得$y=-\frac{1}{16}×36 + 6+4=-\frac{9}{4}+10=\frac{-9 + 40}{4}=\frac{31}{4}$，拱顶$y = 8$，所以加湿管到拱顶的距离为$8-\frac{31}{4}=\frac{32 - 31}{4}=\frac{1}{4}×12 = 3m$。
(3)
因为恒温管与加湿管相距$1.25m$，所以恒温管所在位置的$y$值为$7.75-1.25 = 6.5$（由
(2)知加湿管$y$值约为$7.75$）。
令$y = 6.5$，则$6.5=-\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$，
$-\frac{1}{16}x^{2}+x - 2.5 = 0$，
$x^{2}-16x + 40 = 0$，
根据求根公式$x=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^{2}-4×40}}{2}=\frac{16\pm\sqrt{256 - 160}}{2}=\frac{16\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{16\pm4\sqrt{6}}{2}=8\pm2\sqrt{6}$。
$x_{1}=8 + 2\sqrt{6}$，$x_{2}=8 - 2\sqrt{6}$，
恒温管长度$L=x_{1}-x_{2}=(8 + 2\sqrt{6})-(8 - 2\sqrt{6})=4\sqrt{6}\approx4×2.45 = 9.8m$。
另一种写法：$x^{2}-16x + 40 = 0$，$(x - 4)(x - 12)=-8$（分解因式法），由韦达定理$x_{1}+x_{2}=16$，$x_{1}x_{2}=40$，$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=16^{2}-4×40=256 - 160 = 96$，$x_{1}-x_{2}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\approx9.8m$。
综上，答案依次为：
(1)$y = -\frac{1}{16}x^{2}+x + 4$，$8m$；
(2)$3m$；
(3)$9.8m$。

8. 一小球M从斜坡OA上的点O处抛出,其路线是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡OA可以用直线$y= \frac{1}{2}x$表示,小球到达最高点的坐标为(4,8).
(1)求抛物线的解析式(不必写自变量x的取值范围).
$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$
(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为______米.
$\frac{7}{2}$
(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌,点B的横坐标为2,判断小球M能否飞过这个广告牌,请通过计算说明.
能飞过。
计算过程：点B的横坐标为2，斜坡OA的方程为$y=\frac{1}{2}x$，则点B的纵坐标为$y=\frac{1}{2}×2 = 1$，广告牌顶部的纵坐标为$1 + 4=5$。
当$x = 2$时，代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{2}x^2 + 4x$，得$y=-\frac{1}{2}×(2)^2+4×2=-2 + 8=6$。
因为$6＞5$，所以小球能飞过这个广告牌。

答案：
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$；
(2)$\frac{7}{2}$；
(3)能飞过。