《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c过点A(-4,0)$,顶点坐标为$(-2,-1)$.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)若点$B$在抛物线上,且点$B的横坐标为-1$,点$P为x$轴上方抛物线上一点,且$\angle PAB= 45^{\circ}$,求点$P$的坐标.

答案：
(1) 设抛物线顶点式为$y=a(x+2)^2-1$，将$A(-4,0)$代入得：$0=a(-4+2)^2-1$，即$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$。故抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}(x+2)^2-1$，展开得$y=\frac{1}{4}x^2+x$。
(2) 点$B$横坐标为$-1$，代入抛物线得$y=\frac{1}{4}(-1)^2+(-1)=-\frac{3}{4}$，即$B(-1,-\frac{3}{4})$。设直线$AP$斜率为$k$，$A(-4,0)$，直线$AB$斜率$k_{AB}=\frac{-\frac{3}{4}-0}{-1-(-4)}=-\frac{1}{4}$。由两直线夹角公式$\tan45^\circ=|\frac{k - (-\frac{1}{4})}{1 + k(-\frac{1}{4})}|=1$，得$|\frac{k + \frac{1}{4}}{1 - \frac{k}{4}}|=1$。
解得$k=\frac{3}{5}$或$k=-\frac{5}{3}$。当$k=\frac{3}{5}$时，直线$AP:y=\frac{3}{5}(x+4)$，联立抛物线方程$\frac{3}{5}(x+4)=\frac{1}{4}x^2+x$，整理得$5x^2+8x-48=0$，解得$x=-4$（舍）或$x=\frac{12}{5}$，代入得$y=\frac{96}{25}$。当$k=-\frac{5}{3}$时，直线$AP$与抛物线交点在$A$左侧，夹角为$135^\circ$（舍）。故$P(\frac{12}{5},\frac{96}{25})$。
(1) $y=\frac{1}{4}x^2+x$；
(2) $(\frac{12}{5},\frac{96}{25})$

2. 如图,抛物线$y= x^{2}-x-2与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$.
(1)求$A$,$B$,$C$三点的坐标；
(2)连接$AC$,$BC$,若在第四象限的抛物线上有一点$P$,且$\angle PCB= \angle CAB$,求点$P$的坐标.

答案：
(1)$A(-1,0)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$；
(2)$P(\frac{2}{3},-\frac{20}{9})$。