《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,已知抛物线$y= -\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于A,B两点(点A在点B右侧),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)连接AC,该抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ACM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$A(2,0)$，$B(-4,0)$，$C(0,2)$；
(2)存在，$M$的坐标为$(-1,2 + \sqrt{7})$，$(-1,2 - \sqrt{7})$，$(-1,-1)$。

2.如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c$与x轴交于点A(-1,0),B(6,0),与y轴交于点C,经过点B的直线$y= mx+n$与y轴交于点D,且点C与点D关于x轴对称,过点P(2,0)作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在y轴上是否存在点Q,使以Q,M,N为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) y=-x²+5x+6；
(2) 存在，Q(0,12)，(0,-4)，(0,4+2√15)，(0,4-2√15)。