《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8. 顶点坐标是$(-3,0)$,开口方向、形状与函数$y= \frac{1}{3}x^{2}$的图象相同的抛物线为(B)
A.$y= \frac{1}{3}(x-3)^{2}$
B.$y= \frac{1}{3}(x+3)^{2}$
C.$y= -\frac{1}{3}(x-3)^{2}$
D.$y= -\frac{1}{3}(x+3)^{2}$

答案： 答题卡：
解：
1. 抛物线的顶点式为 $y = a(x-h)^2 + k$，其中顶点坐标为 $(h, k)$。
2. 题目中顶点坐标为 $(-3, 0)$，因此 $h = -3$，$k = 0$，代入顶点式得 $y = a(x+3)^2$。
3. 题目要求开口方向和形状与 $y = \frac{1}{3}x^2$ 相同，因此 $a = \frac{1}{3}$。
4. 综上，抛物线的方程为 $y = \frac{1}{3}(x+3)^2$。
正确选项为 B。

9. 已知二次函数$y= -(x+h)^{2}$,当$x＜-3$时,y随x的增大而增大,当$x＞-3$时,y随x的增大而减小,则当$x= 0$时,y的值为(B)
A.-1
B.-9
C.1
D.9

答案： 1. 首先分析二次函数$y = a(x - h)^2$的性质：
对于二次函数$y=a(x - h)^2$，其对称轴为直线$x = h$，当$a\lt0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
已知二次函数$y=-(x + h)^2=-(x-(-h))^2$，其中$a=-1\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-h$。
2. 然后根据函数单调性确定$h$的值：
因为当$x\lt - 3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x\gt - 3$时，$y$随$x$的增大而减小，所以对称轴$x=-h=-3$，解得$h = 3$。
3. 接着确定二次函数的表达式：
把$h = 3$代入$y=-(x + h)^2$，得到$y=-(x + 3)^2$。
4. 最后求当$x = 0$时$y$的值：
当$x = 0$时，$y=-(0 + 3)^2=-9$。
所以答案选B。

10. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+c$和二次函数$y= a(x+c)^{2}$的大致图象为(B)

答案： 分情况讨论：
情况1：判断二次函数开口方向与一次函数增减性
二次函数$y=a(x+c)^2$开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
一次函数$y=ax+c$增减性由$a$决定：$a＞0$时函数上升，$a＜0$时函数下降。
选项A：二次函数开口向下（$a＜0$），一次函数上升（$a＞0$），$a$符号矛盾，排除。
选项D：二次函数开口向上（$a＞0$），一次函数下降（$a＜0$），$a$符号矛盾，排除。
情况2：分析$a＞0$（选项C）
二次函数开口向上（$a＞0$），顶点坐标$(-c,0)$。由图C知顶点在$x$轴负半轴，即$-c＜0\Rightarrow c＞0$。
一次函数$y=ax+c$（$a＞0$，$c＞0$）与$y$轴交点为$(0,c)$，应在$y$轴正半轴。但图C中一次函数与$y$轴交于负半轴（$c＜0$），矛盾，排除。
情况3：分析$a＜0$（选项B）
二次函数开口向下（$a＜0$），顶点坐标$(-c,0)$。由图B知顶点在$x$轴负半轴，即$-c＜0\Rightarrow c＞0$。
一次函数$y=ax+c$（$a＜0$，$c＞0$）：斜率$a＜0$时函数下降，与$y$轴交点$(0,c)$在正半轴，符合图B中一次函数图象。
二次函数与$y$轴交点：当$x=0$时，$y=a(0+c)^2=ac^2$，$a＜0$，$c^2＞0\Rightarrow y＜0$，即交于$y$轴负半轴，符合图B中二次函数图象。
结论：选项B正确。
B

11. 已知二次函数$y= -\frac{1}{4}(x+1)^{2}$,当$-7\leqslant x\leqslant7$时,y的取值范围是(A)
A.$-16\leqslant y\leqslant0$
B.$-9\leqslant y\leqslant0$
C.$-16\leqslant y\leqslant-9$
D.$9\leqslant y\leqslant16$

答案： 1. 对于二次函数$y = a(x - h)^{2}$，其对称轴为$x = h$。
对于函数$y = -\frac{1}{4}(x + 1)^{2}$，对称轴为$x = -1$。
2. 函数的开口方向由系数$a$决定。
因为$a = -\frac{1}{4} \lt 0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴$x = -1$处取得最大值。
3. 将$x = -1$代入函数，得到最大值：
$y = -\frac{1}{4}(-1 + 1)^{2} = 0$
4. 在区间$[-7, 7]$中，由于抛物线开口向下，函数值将随着$x$远离对称轴而减小。
因此，需要检查区间端点$x = -7$和$x = 7$处的函数值。
当$x = 7$时，$y = -\frac{1}{4}(7 + 1)^{2} = -\frac{1}{4} × 64 = -16$
由于$x = -7$比$x = 7$更接近对称轴$x = -1$，因此在$x = -7$处的函数值会大于在$x = 7$处的函数值，但不需要具体计算，因为已知$x = 7$时$y$已经达到最小值$-16$。
5. 综上，当$-7 \leqslant x \leqslant 7$时，$y$的取值范围为$-16 \leqslant y \leqslant 0$。
故答案为：A. $-16 \leqslant y \leqslant 0$

12. 如图,抛物线$y= 2(x-2)^{2}$与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线的顶点为C,连接AC,BC. 若$\triangle ABC$是等边三角形,求$\triangle ABC$的面积.

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

13. 如图,已知二次函数$y= (x+2)^{2}$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标.
(2)过点B作平行于x轴的直线,交抛物线于点C,连接AC,求四边形OACB的面积.
(3)是否存在一点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 令$y=0$，则$(x+2)^2=0$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$；令$x=0$，则$y=(0+2)^2=4$，$\therefore B(0,4)$。
(2) 过$B(0,4)$平行于$x$轴的直线为$y=4$，联立$\begin{cases}y=4\\y=(x+2)^2\end{cases}$，解得$x=-4$或$x=0$，$\therefore C(-4,4)$。四边形$OACB$顶点为$O(0,0)$，$A(-2,0)$，$C(-4,4)$，$B(0,4)$。$OA=2$，$CB=4$，高为$4$，面积$S=\frac{(2+4)×4}{2}=12$。
(3) 存在。$A(-2,0)$，$B(0,4)$，$C(-4,4)$。
若$AC$为对角线，中点$(-3,2)$，则$BP$中点$(-3,2)$，$P(-6,0)$；
若$AB$为对角线，中点$(-1,2)$，则$CP$中点$(-1,2)$，$P(2,0)$；
若$BC$为对角线，中点$(-2,4)$，则$AP$中点$(-2,4)$，$P(-2,8)$。
$\therefore P(-6,0)$或$(2,0)$或$(-2,8)$。