《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,那么关于x的方程$ax^{2}+bx+c+2= 0$的根的情况是 (C)

A.无实数根
B.有两个同号不等的实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个相等的实数根

答案： 方程$ax^2 + bx + c + 2 = 0$可化为$ax^2 + bx + c = -2$，即求二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与直线$y = -2$交点的横坐标。
由二次函数图象可知：该函数开口向下（$a ＜ 0$），顶点纵坐标$k ＞ -2$（顶点在直线$y = -2$上方），故函数图象与直线$y = -2$有两个不同交点，即方程有两个不相等的实数根。
设方程$ax^2 + bx + c + 2 = 0$的两根为$x_1, x_2$，由韦达定理得$x_1x_2 = \frac{c + 2}{a}$。图象中二次函数与$y$轴交点在正半轴，即$c ＞ 0$，则$c + 2 ＞ 0$，又$a ＜ 0$，故$x_1x_2 = \frac{c + 2}{a} ＜ 0$，两根异号。
综上，方程有两个异号实数根。
C

9. 若二次函数$y= ax^{2}-2ax+c的图象经过点(-1,0)$,则关于x的方程$ax^{2}-2ax+c= 0$的根为$x_{1} = -1$，$x_{2} = 3$.

答案： 答题卡：
9.
由于二次函数$y = ax^{2} - 2ax + c$的图象经过点$(-1,0)$，
代入得：$0 = a(-1)^{2} - 2a(-1) + c$，
即：$a + 2a + c = 0$，
从而：$3a + c = 0$，
但此步是为了验证点$(-1,0)$在函数上，对求方程的根无直接影响。
因为方程$ax^{2} - 2ax + c = 0$表示的是二次函数$y = ax^{2} - 2ax + c$与$x$轴的交点，
已知其中一个交点为$(-1,0)$，
由于二次函数的对称性，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1$，
因此，另一个交点与$(-1,0)$关于$x=1$对称，
所以另一个交点的横坐标为$2 × 1 - (-1) = 3$，
即另一个交点为$(3,0)$。
所以，方程$ax^{2} - 2ax + c = 0$的根为$x_{1} = -1$，$x_{2} = 3$。
故答案为：$x_{1} = -1$，$x_{2} = 3$。

10. 已知二次函数$y= mx^{2}+3mx+m-1$的图象与坐标轴有两个交点,则m的值为1或$-\frac{4}{5}$.

答案： 1. 二次函数与坐标轴交点包括与x轴和y轴交点，分情况讨论：
2. 情况一：与y轴1个交点，与x轴1个交点
与y轴交点：令$x=0$，$y=m-1$，交点为$(0,m-1)$，需$m-1\neq0$（即$m\neq1$）。
与x轴1个交点：方程$mx^2+3mx+m-1=0$有两个相等实根，判别式$\Delta=0$。
$\Delta=(3m)^2-4m(m-1)=5m^2+4m=0$，解得$m=0$（舍，非二次函数）或$m=-\frac{4}{5}$。
3. 情况二：与y轴交点在x轴上（即过原点）
令$m-1=0$，得$m=1$。此时函数为$y=x^2+3x=x(x+3)$，与x轴交于$(0,0)$和$(-3,0)$，与坐标轴交点为$(0,0)$、$(-3,0)$，共2个。
4. 综上，$m=1$或$m=-\frac{4}{5}$。
$1$或$-\frac{4}{5}$

11. 【教材P47习题T2变式】已知二次函数$y_{1}= 2x^{2}-2$和一次函数$y_{2}= x+1$.
(1)用图象法求方程$2x^{2}-2= x+1$的根；
(2)请通过解方程的方法验证(1)中的根.
(3)若$y_{1}＞y_{2}$,则x的取值范围是$x＜ - 1$或$x＞\frac{3}{2}$.

答案： （1）
画出函数$y_1=2x^2 - 2$的图象，顶点为$(0,-2)$，开口向上；
画出函数$y_2 = x + 1$的图象，是一条直线；
观察图象可知，两图象交点横坐标约为$x=-0.9$和$x = 1.4$，所以方程$2x^2 - 2 = x + 1$的根为$x_1\approx - 0.9$，$x_2\approx1.4$。
（2）
由$2x^2 - 2 = x + 1$，移项化为标准一元二次方程形式：$2x^2 - x - 3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c = 0(a\neq0)$，这里$a = 2$，$b=-1$，$c = - 3$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(-1)^2-4×2×(-3)=1 + 24 = 25$。
则$x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{1\pm5}{4}$，
解得$x_1=\frac{1 + 5}{4}=\frac{3}{2}=1.5$，$x_2=\frac{1-5}{4}=-1$ ，与（1）中近似值相符。
（3）
$y_1＞y_2$即$2x^2 - 2＞x + 1$，移项得$2x^2 - x - 3＞0$。
由（2）知方程$2x^2 - x - 3 = 0$的根为$x_1 = - 1$，$x_2=\frac{3}{2}$。
因为二次函数$y = 2x^2 - x - 3$中$a = 2＞0$，图象开口向上，
所以不等式$2x^2 - x - 3＞0$的解集为$x＜ - 1$或$x＞\frac{3}{2}$。
故$x$的取值范围是$x＜ - 1$或$x＞\frac{3}{2}$。

12. 如图,已知抛物线$y= ax^{2}+4x+c经过A(2,0),B(0,-6)$两点,其对称轴与x轴交于点C.
(1)求该抛物线和直线BC的解析式.
(2)设抛物线与直线BC相交于点D,连接AB,AD,求$\triangle ABD$的面积.
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使$\triangle QAB$的周长最小？若存在,请直接写出点Q的坐标及$\triangle QAB$周长的最小值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)抛物线$y=-\frac{1}{2}x²+4x-6$，直线BC$y=\frac{3}{2}x-6$；
(2)$\frac{15}{2}$；
(3)存在，Q(4,-2)，周长最小值$2\sqrt{10}+6\sqrt{2}$。