《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

7. 分别将一把直尺,一块含$60^\circ$角的直角三角尺和一个光盘按如图所示的方式摆放,点A为直角三角尺的斜边与直尺的交点,点B为光盘与直尺的切点.若AB= 3,则光盘的半径为______$3\sqrt{3}$.

答案： 设光盘圆心为O，半径为r，连接OB，因光盘与直尺相切于B，故OB⊥直尺，OB=r。
设三角尺60°角顶点为A，斜边与直尺交于A，另一直角边（或斜边）与光盘相切，圆心O到该边距离为r。
由AB=3，过O作该边垂线，垂足为C，则OC=r。
在Rt△OAB中，∠OAB=60°，OB=r，AB=3，tan60°=OB/AB，即√3=r/3，解得r=3√3。
答案：$3\sqrt{3}$

8. 如图,将Rt$\triangle ABC平移到\triangle A'B'C'$的位置,使得点$C'与\triangle ABC$的内心重合.已知$\angle C= 90^\circ$,$AC= 4$,$BC= 3$,则阴影部分的周长为______5.

答案： 解答过程：
1. 计算Rt△ABC的斜边及内切圆半径
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得斜边AB=√(AC²+BC²)=√(4²+3²)=5。
内切圆半径r=(AC+BC-AB)/2=(4+3-5)/2=1。
2. 确定内心坐标及平移性质
△ABC的内心到三边距离均为r=1，以C为原点建立坐标系，内心坐标为(1,1)（即C'的位置）。平移后A'C'//AC，B'C'//BC，A'B'//AB。
3. 求阴影部分顶点坐标及边长
A'C'（竖直线x=1）与AB交于D(1, 8/3)，B'C'（水平线y=1）与AB交于E(9/4,1)，C'(1,1)构成阴影△C'DE。
C'D=8/3 -1=5/3，
EC'=9/4 -1=5/4，
DE=√[(9/4 -1)²+(1 -8/3)²]=25/12。
4. 计算阴影部分周长
周长=C'D+DE+EC'=5/3 +25/12 +5/4=5。
最终结论：5

9. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点O,E均为格点,过点E作$\odot O$的切线EM,EN,切点分别为M,N(点M在点N的左侧),仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图(保留作图痕迹,不写作法).

答案： （以下为作图痕迹描述，实际作答需在图中完成）
1. 连接格点O与格点E。
2. 在⊙O上找出两个格点M、N（M在N左侧），使得OM⊥EM，ON⊥EN。
3. 连接EM、EN，即为所求切线。
（注：实际作图时，通过网格格点连线构造直角，确定切点M、N后连接E与M、E与N。）

10. 如图,点E是$\triangle ABC$的内心,AE的延长线与$\triangle ABC$的外接圆相交于点D,连接BE,CE,BD,CD.
(1)若$\angle CBD= 34^\circ$,求$\angle BEC$的度数.
(2)求证:$DE= DB$.

答案：
(1)
∵∠CBD=34°，∠CBD与∠CAD所对弧均为CD，
∴∠CAD=∠CBD=34°。
∵E是△ABC内心，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=68°。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=112°。
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBC=1/2∠ABC，∠ECB=1/2∠ACB。
∴∠EBC+∠ECB=1/2(∠ABC+∠ACB)=56°。
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=124°。
(2) 证明：
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DBC=∠CAD（同弧CD所对圆周角），E为内心，CE平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠CBE=1/2∠ABC，∠CAD=1/2∠BAC（AE平分∠BAC）。
∴∠DBE=1/2∠BAC+1/2∠ABC。
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB=∠EAB+∠EBA。
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠EAB=1/2∠BAC，∠EBA=1/2∠ABC。
∴∠DEB=1/2∠BAC+1/2∠ABC。
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB。

11. 如图1,AB是$\odot O$的直径,AD与$\odot O$相切于点A,DE与$\odot O$相切于点E,C为DE的延长线上一点,且$CE= CB$.
(1)求证:BC为$\odot O$的切线.
(2)如图2,连接AE并延长,交BC的延长线于点G.若$\odot O的半径为\sqrt{5}$,$AD= 2$,求线段CE和AG的长.

答案：
(1)连接OE、OC。
∵AD、DE是⊙O的切线，
∴AD=DE，∠OAD=∠OED=90°。
∵CE=CB，OE=OB（半径），OC=OC（公共边），
∴△OEC≌△OBC（SSS）。
∴∠OBC=∠OEC=90°。
∵OB是半径，
∴BC为⊙O的切线。
(2)设CE=CB=x，⊙O半径为√5，
∴AB=2√5，AD=DE=2（切线长定理），则CD=DE+CE=2+x。
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：A(0,0)，B(2√5,0)，D(0,2)，O(√5,0)。
设E(x,y)，由OE⊥DE及OE=√5，DE=2，得：
√(x²+(y-2)²)=2，(x-√5)²+y²=5，解得E(8√5/9,20/9)。
DE直线方程：y=(√5/20)x+2。
∵C在DE上且CE=CB，设C(m,n)，则n=(√5/20)m+2，且(m-2√5)²+n²=(m-8√5/9)²+(n-20/9)²，解得m=2√5，n=5/2。
∴CE=√[(2√5-8√5/9)²+(5/2-20/9)²]=5/2。
直线AE：过A(0,0)，E(8√5/9,20/9)，斜率k=√5/2，方程y=(√5/2)x。
BC为x=2√5，与AE交于G(2√5,5)。
AG=√[(2√5)²+5²]=3√5。
(1)证明完毕；
(2)CE=5/2，AG=3√5。