《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= x^{2}+mx+n经过点A(3,0),B(0,-3)$,点P是线段AB上的动点(不与点A,B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,当线段PM的值最大时,点P的坐标为$\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)$.

答案： 1. 求抛物线解析式：将点$B(0,-3)$代入$y=x^2+mx+n$，得$n=-3$；将点$A(3,0)$代入$y=x^2+mx-3$，得$0=9+3m-3$，解得$m=-2$，故抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
2. 求线段$AB$解析式：设$AB:y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3k+b=0\\b=-3\end{cases}$，解得$k=1$，$b=-3$，故$AB:y=x-3$。
3. 设点$P(t,t-3)(0＜t＜3)$，则点$M(t,t^2-2t-3)$（$PM// y$轴，横坐标相同）。
4. 计算$PM$长度：$PM=(t-3)-(t^2-2t-3)=-t^2+3t$。
5. 求$PM$最大值：$PM=-t^2+3t$是开口向下的二次函数，对称轴$t=-\frac{3}{2×(-1)}=\frac{3}{2}$，在$0＜t＜3$内，当$t=\frac{3}{2}$时，$PM$最大。
6. 点$P$坐标：$t=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}$，故$P\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)$。
$\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)$

2. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx-2$与x轴交于点$A(-1,0),B(4,0)$,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线$x= m(0＜m＜4)$交抛物线于点M,交BC于点N,且$CM// ON$,求m的值.

答案：
(1)$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$；
(2)$m=2$。

3. 如图,抛物线$y= -x^{2}+3x+4$与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.
(1)AC的中点D的坐标为______(2,2);
(2)直线$y= kx+b$(k,b为常数)过AC的中点D,与抛物线交于E,F两点(点E在点F的右侧).若点E,A的水平距离与点F,B的水平距离相等,求k的值.$k = 0$或$k = 2$或$k = -4$

答案：
(1) 对于抛物线$y = -x^2 + 3x + 4$，令$y = 0$，则$-x^2 + 3x + 4 = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = -1$。因为点$A$在点$B$右侧，所以$A(4,0)$，$B(-1,0)$。令$x = 0$，得$y = 4$，所以$C(0,4)$。$AC$中点$D$的坐标为$\left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right) = (2,2)$。
(2) 直线过$D(2,2)$，则$2 = 2k + b$，即$b = 2 - 2k$，直线方程为$y = kx + 2 - 2k$。联立抛物线方程$-x^2 + 3x + 4 = kx + 2 - 2k$，整理得$x^2 + (k - 3)x - (2 + 2k) = 0$。设$E(x_E, y_E)$，$F(x_F, y_F)$，且$x_E ＞ x_F$，由韦达定理得$x_E + x_F = 3 - k$，$x_E x_F = -(2 + 2k)$。
因为点$E,A$的水平距离与点$F,B$的水平距离相等，即$|x_E - 4| = |x_F + 1|$，平方得$(x_E - 4)^2 = (x_F + 1)^2$，整理得$(x_E - x_F)(x_E + x_F) - 8x_E - 2x_F + 15 = 0$。结合韦达定理，解得$x_E + x_F = 3$或$x_E - x_F = 5$。
当$x_E + x_F = 3$时，$3 - k = 3$，得$k = 0$；当$x_E - x_F = 5$时，$(x_E - x_F)^2 = 25$，即$(3 - k)^2 + 4(2 + 2k) = 25$，解得$k = 2$或$k = -4$。
综上，$k$的值为$0$，$2$，$-4$。
(1) $(2,2)$
(2) $k = 0$或$k = 2$或$k = -4$