《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8. 如图,AC是直径为8的$\odot O$的弦,点B是$\odot O$上的一个动点,连接AB,BC.若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值为______.

4

答案： 本题可先根据三角形中位线定理得出$MN$与$AB$的关系，再结合圆的性质求出$AB$的最大值，进而得到$MN$的最大值。
步骤一：根据三角形中位线定理得到$MN$与$AB$的关系
因为点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
所以在$\triangle ABC$中，$MN$是中位线，则$MN = \frac{1}{2}AB$。
步骤二：求出$AB$的最大值
已知$\odot O$的直径为$8$，根据圆的性质，圆内最长的弦是直径。
因为点$B$是$\odot O$上的一个动点，所以当$AB$为$\odot O$的直径时，$AB$取得最大值，即$AB_{max}=8$。
步骤三：求出$MN$的最大值
由$MN = \frac{1}{2}AB$，当$AB$取最大值$8$时，可得$MN_{max}=\frac{1}{2}×8 = 4$。
综上，答案为$4$。

9. 如图,OA是$\odot O$的半径,点B为OA上一点(不与点O,A重合),过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C,以OB,BC为边作矩形OBCD,连接BD.若$BD= 10$,$BC= 8$,则AB的长为______.

4

答案：
∵四边形OBCD是矩形，
∴OC=BD（矩形对角线相等），OB⊥BC，BC=OD。
∵BD=10，
∴OC=10。
∵点C在⊙O上，
∴OC为⊙O的半径，即OA=OC=10。
在Rt△OBC中，BC=8，OC=10，
由勾股定理得：OB²+BC²=OC²，
即OB²+8²=10²，
解得OB=6（负值舍去）。
∵OA=10，
∴AB=OA-OB=10-6=4。
4

10. 如图,CD是$\odot O$的直径,点A在DC的延长线上,点E是$\odot O$上一点,连接AE交$\odot O$于点B.若$\angle A= 20^\circ$,$AB= OC$,则$\angle DOE$的度数是______.

60°

答案： 连接OB。
∵AB=OC，OB=OC（半径相等），
∴AB=OB，△ABO为等腰三角形。
∴∠A=∠AOB=20°（等边对等角）。
∵∠OBE是△ABO的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=20°+20°=40°。
∵OB=OE（半径相等），
∴△OBE为等腰三角形，∠OBE=∠OEB=40°。
在△OBE中，∠BOE=180°-∠OBE-∠OEB=180°-40°-40°=100°。
∵A在DC延长线上，D、O、C共线，
∴∠AOC=180°，即∠AOB+∠BOC=180°，但∠AOB=20°，且A、C、O共线，故∠COB=∠AOB=20°。
∠COE=∠COB+∠BOE=20°+100°=120°。
∵CD为直径，∠DOC=180°，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=180°-120°=60°。
6０°

11. 将两个斜边相等的直角三角尺($\angle DAC= 45^\circ$,$\angle BAC= 30^\circ$)按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形,则A,B,C,D四点在同一个圆上吗? 请说明理由.

答案： A,B,C,D四点在同一个圆上。理由如下：
设两个直角三角尺分别为Rt△ABC和Rt△ADC，其中∠ABC=90°，∠ADC=90°（直角顶点分别为B,D），则它们的斜边均为AC（由题意“斜边相等”及四边形结构可知）。
取AC中点O，连接OB,OD。
在Rt△ABC中，由直角三角形斜边中线定理得：OB=OA=OC=1/2AC；
在Rt△ADC中，同理得：OD=OA=OC=1/2AC。
∴OA=OB=OC=OD，即A,B,C,D四点到点O的距离相等。
根据圆的定义，A,B,C,D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上。

12. 如图,AB是$\odot O$的直径,OC,OD是$\odot O$的半径,$CE\perp AB$于点E,$DF\perp AB$于点F,且$AE= BF$.求证:$AC= BD$.

答案： 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC=OD（同圆半径相等）。
∵AE=BF，
∴OA-AE=OB-BF，即OE=OF。
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEO=∠DFO=90°。
在Rt△CEO和Rt△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=OD \\ OE=OF \end{array}\right.$，
∴Rt△CEO≌Rt△DFO（HL）。
∴∠COE=∠DOF。
∵AC和BD分别是∠AOC和∠BOD所对的弦，且∠AOC=∠BOD（等角对等弦），
∴AC=BD。
结论：AC=BD。