《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x＞100)元出售,每天可销售(200-x)件.若想获得最大利润,则x应定为 (A)
A.150
B.160
C.170
D.180

答案： 答题卡：
解：
设总利润为W元，
则$W = (x - 100)(200 - x) = - x^{2} + 300x - 20000$，
$\because a = - 1 ＜ 0$，
$\therefore$函数有最大值，
$\because$当$x = - \frac{b}{2a} = - \frac{300}{- 2} = 150$时，W取得最大值，
$\therefore$想获得最大利润，销售单价应定为150元．
故答案为：A.150。

2.端午节前夕,小丽到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.下面是小丽提供的信息:当每个售价为3元时,每天能卖出500个,这种粽子的售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个.若超市要每天获得最大利润,则粽子的售价应定为6元.

答案： 设粽子的售价为$x$元，总利润为$W$元。
销售单价为$x$元，销售单价上涨了$(x-3)$元，单价上涨$0.1$元，销售量减少$10$个，减少的销售量为$\frac{x-3}{0.1} × 10 = 100(x - 3)$（个），
所以销售量为$500 - 100(x - 3) = 800 - 100x$（个）。
每个粽子的利润是$(x - 2)$元，
因此，总利润可以表示为：$W = (x - 2)(800 - 100x)$，
展开得：$W = 800x - 100x^2 - 1600 + 400x$，
整理得：$W = -100x^2 + 1200x - 1600$，
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
将$a = -100$，$b = 1200$代入对称轴公式，得到：
$x = -\frac{1200}{2 × (-100)} = 6$，
将$x = 6$代入原函数，得到最大利润：
$W = -100 × 6^2 + 1200 × 6 - 1600 = 2000$（元）。
所以，当售价定为6元时，超市每天能获得最大利润，最大利润为2000元。
故答案为：6。

3.某医药批发企业销售一种成本价为每盒60元的创新药,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不高于40%.试销发现,日销售量y(件)与销售单价x(元)的关系满足一次函数y= -x+120,则企业每天可获得的最大利润是864元.

答案： 解：由题意，成本价为60元/盒，销售单价x满足60≤x≤60×(1+40%)=84，即60≤x≤84。
利润W=(x-60)y=(x-60)(-x+120)，展开得：
W=-x²+180x-7200。
此二次函数a=-1＜0，开口向下，对称轴为x=-b/(2a)=90。
∵90＞84，
∴在60≤x≤84范围内，W随x增大而增大。
当x=84时，W最大，代入得：
W=(84-60)(-84+120)=24×36=864。
答：864

4.【教材P51习题T2变式】某童装店购进一批成本价为20元/件的童装,由销售经验,可知每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系.

(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?

答案：
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$。
把$(30,400)$，$(40,300)$代入得：
$\begin{cases}30k + b = 400, \\40k + b = 300.\end{cases}$
两式相减得：$10k=-100$，解得$k = - 10$。
把$k = - 10$代入$30k + b = 400$，得$30×(-10)+b = 400$，$b = 700$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y = - 10x + 700$。
(2)设每天的利润为$w$元。
$w=(x - 20)y=(x - 20)( - 10x + 700)$
$=-10x^{2}+700x + 200x - 14000$
$=-10x^{2}+900x - 14000$
对于二次函数$w=-10x^{2}+900x - 14000$，其中$a=-10$，$b = 900$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x = -\frac{900}{2×(-10)} = 45$。
把$x = 45$代入$w$得：
$w=-10×45^{2}+900×45 - 14000$
$=-10×2025 + 40500 - 14000$
$=-20250+40500 - 14000$
$=6250$（元）
所以当销售单价定为$45$元时，每天可获得最大利润，最大利润是$6250$元。

5.某店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该店采取降价措施,据市场调查反映:销售单价每降低1元,每月可多售出5条,设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)y与x之间的函数解析式为y = -5x + 500.
(2)设该店每月获得的利润为w元,当售价为多少元时,每月获得的利润最大?最大利润为多少?
售价70元，最大利润4500元
(3)该店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生,为了保证捐款后每月的利润为4175元,且让消费者得到最大的实惠,休闲裤的销售单价应定为多少元?
65元

答案：
(1) 由题意，售价为$x$元时，降低的价格为$(80 - x)$元，每月多销售$5(80 - x)$条，则销售量$y = 100 + 5(80 - x)$，化简得$y = -5x + 500$。
(2) 利润$w=(x - 40)y=(x - 40)(-5x + 500)=-5x^2 + 700x - 20000$，其中$a=-5\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=-\frac{700}{2×(-5)}=70$。当$x=70$时，$w_{max}=-5×70^2 + 700×70 - 20000=4500$。故售价为70元时，每月利润最大，最大利润为4500元。
(3) 由题意，$w - 200 = 4175$，即$w=4375$，则$-5x^2 + 700x - 20000=4375$，整理得$x^2 - 140x + 4875=0$。解得$x=\frac{140\pm\sqrt{140^2 - 4×1×4875}}{2}=\frac{140\pm10}{2}$，即$x_1=75$，$x_2=65$。为让消费者得到最大实惠，取$x=65$。故休闲裤的销售单价应定为65元。
(1)$y = -5x + 500$
(2)售价70元，最大利润4500元
(3)65元