《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

6.已知一元二次方程$(x-2)(3x+1)= 0$,则$3x+1$的值为 (D)
A.7
B.2
C.0
D.7或0

答案： 答题卡：
6.
解：由题给方程 $(x-2)(3x+1)=0$，
根据因式分解法，方程的解满足 $x-2=0$ 或 $3x+1=0$。
1. 当 $x-2=0$ 时，解得 $x=2$，代入 $3x+1$ 得 $3×2+1=7$；
2. 当 $3x+1=0$ 时，直接得 $3x+1=0$。
综合上述两种情况，$3x+1$ 的值为 $7$ 或 $0$。
故答案选 D.

7.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程$x^{2}-3x= 4(x-3)$的两个实数根,则该直角三角形斜边上的中线长为2.5.

答案： 首先，解方程 $x^{2} - 3x = 4(x - 3)$。
$x^{2} - 3x - 4x + 12 = 0$
$x^{2} - 7x + 12 = 0$
$(x - 3)(x - 4) = 0$
解得 $x_{1} = 3, x_{2} = 4$。
根据题目，这两个解恰好是直角三角形的两条直角边长。
接下来，利用勾股定理求斜边长 $c$。
$c = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
最后，根据直角三角形斜边上的中线性质，中线长 $m$ 为斜边长的一半。
$m = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
故答案为：$2.5$。

8.用适当的方法解下列方程：
(1)$2(x-1)^{2}-18= 0$；
(2)$x^{2}-6x-27= 0$；
(3)$2(x-2)^{2}= x^{2}-4$；
(4)$2x^{2}-7x= -3$.

答案：
(1)移项得$2(x-1)^2=18$，两边除以2得$(x-1)^2=9$，开平方得$x-1=\pm3$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2)因式分解得$(x-9)(x+3)=0$，则$x-9=0$或$x+3=0$，解得$x_1=9$，$x_2=-3$。
(3)原方程化为$2(x-2)^2-(x^2-4)=0$，即$2(x-2)^2-(x-2)(x+2)=0$，提取公因式$(x-2)$得$(x-2)[2(x-2)-(x+2)]=0$，化简得$(x-2)(x-6)=0$，则$x-2=0$或$x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
(4)移项得$2x^2-7x+3=0$，因式分解得$(2x-1)(x-3)=0$，则$2x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。

9.如图,学校围墙外有一圆形花坛,在不改变总面积的情况下,准备将其改造成半圆形.已知改造后半圆形花坛的半径比原来圆形花坛的半径多5米,求原来圆形花坛的半径.

答案： 解：设原来圆形花坛的半径为$r$米，则改造后半圆形花坛的半径为$(r + 5)$米。
根据面积相等可列方程：$\pi r^{2}=\dfrac{1}{2}\pi(r + 5)^{2}$
两边同时除以$\pi$得：$r^{2}=\dfrac{1}{2}(r + 5)^{2}$
展开$\dfrac{1}{2}(r + 5)^{2}$：$r^{2}=\dfrac{1}{2}(r^{2}+10r + 25)$
去括号：$r^{2}=\dfrac{1}{2}r^{2}+5r+\dfrac{25}{2}$
移项：$r^{2}-\dfrac{1}{2}r^{2}-5r-\dfrac{25}{2}=0$
合并同类项：$\dfrac{1}{2}r^{2}-5r-\dfrac{25}{2}=0$
两边同时乘以$2$：$r^{2}-10r - 25=0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-10$，$c = -25$），根据求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×1×(-25)=100 + 100=200$
$r=\dfrac{10\pm\sqrt{200}}{2}=\dfrac{10\pm10\sqrt{2}}{2}=5\pm5\sqrt{2}$
因为半径不能为负，所以$r = 5 + 5\sqrt{2}$（米）
综上，原来圆形花坛的半径为$(5 + 5\sqrt{2})$米。

10.一般地,因为$x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)$,所以方程$x^{2}+(a+b)x+ab= 0可以用因式分解法化为(x+a)\cdot(x+b)= 0$,解得$x_{1}= -a,x_{2}= -b$.如$x^{2}-5x+6= (x-2)(x-3)$,所以方程$x^{2}-5x+6= 0可以用因式分解法化为(x-2)(x-3)= 0$,解得$x_{1}= 2,x_{2}= 3$.
请依照上述方法解下列方程：
(1)$x^{2}+8x+7= 0$；
(2)$x^{2}-11x+28= 0$.

答案：
(1) $x^{2}+8x+7=0$
因式分解，得$(x+1)(x+7)=0$
$x+1=0$或$x+7=0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-7$
(2) $x^{2}-11x+28=0$
因式分解，得$(x-4)(x-7)=0$
$x-4=0$或$x-7=0$
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=7$