《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 当$0 \leq x \leq 3$时,二次函数$y= x^{2}-2x+4$的最大值为7.

答案： 首先，二次函数$y = x^{2} - 2x + 4$可以转化为顶点式：
$y = (x - 1)^{2} + 3$
由此，我们知道函数的对称轴为直线$x = 1$，并且由于二次项系数为正，所以函数开口向上。
接下来，我们考虑在区间$0 \leq x \leq 3$上，函数的最大值出现在哪个位置。
由于函数开口向上，最大值必然出现在区间的端点上。
当$x = 0$时，
$y = 0^{2} - 2 × 0 + 4 = 4$
当$x = 3$时，
$y = 3^{2} - 2 × 3 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$
由于$7 ＞ 4$，所以在区间$0 \leq x \leq 3$上，函数的最大值为7。
故答案为：7。

2. 当$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$时,二次函数$y= -2x^{2}+8x-6$的最大值为$-\frac{5}{2}$.

答案： 1. 二次函数$y=-2x^2+8x-6$，其中$a=-2$，$b=8$，$c=-6$。
2. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2$。
3. 给定区间$0\leq x\leq\frac{1}{2}$，对称轴$x=2$在区间右侧，且$a=-2＜0$，抛物线开口向下，故函数在$[0,\frac{1}{2}]$上单调递增。
4. 当$x=\frac{1}{2}$时，$y=-2×(\frac{1}{2})^2+8×\frac{1}{2}-6=-2×\frac{1}{4}+4-6=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$。
$-\frac{5}{2}$

3. 若二次函数$y= 2x^{2}-4x+m在-2 \leq x \leq 2$的范围内有最大值10,求$m$的值.

答案： $y = 2x^2 - 4x + m$，$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×2}=1$。
对称轴$x=1$在区间$-2 \leq x \leq 2$内，函数在对称轴处取最小值，最大值在区间端点处取得。
计算端点函数值：
当$x=-2$时，$y=2(-2)^2 - 4(-2) + m=8 + 8 + m=16 + m$；
当$x=2$时，$y=2(2)^2 - 4(2) + m=8 - 8 + m=m$。
比较得$16 + m ＞ m$，故最大值为$16 + m$。
由最大值为10，得$16 + m=10$，解得$m=-6$。
$m=-6$

4. 已知二次函数$y= ax^{2}-4ax+a在-1 \leq x \leq 3$的范围内有最大值7,求该二次函数的最小值.

答案： 情况一：$a ＞ 0$
1. 对称轴：$x = -\frac{-4a}{2a} = 2$，在区间$[-1, 3]$内。
2. 开口向上，最大值在离对称轴最远的端点$x = -1$处取得。
3. 代入$x = -1$：$y = a(-1)^2 - 4a(-1) + a = 6a = 7$，解得$a = \frac{7}{6}$。
4. 最小值在对称轴$x = 2$处：$y = \frac{7}{6}(2)^2 - 4 \cdot \frac{7}{6} \cdot 2 + \frac{7}{6} = -3 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{7}{2}$。
情况二：$a ＜ 0$
1. 对称轴$x = 2$在区间$[-1, 3]$内。
2. 开口向下，最大值在对称轴$x = 2$处取得。
3. 代入$x = 2$：$y = a(2)^2 - 4a(2) + a = -3a = 7$，解得$a = -\frac{7}{3}$。
4. 最小值在离对称轴最远的端点$x = -1$处：$y = -\frac{7}{3}(-1)^2 - 4 \cdot (-\frac{7}{3})(-1) + (-\frac{7}{3}) = 6 \cdot (-\frac{7}{3}) = -14$。
最小值为$-\frac{7}{2}$或$-14$

5. 已知二次函数$y= x^{2}-4x+1$,当$m \leq x \leq 4$时,$y$的最大值为2,则$m$的值为$2 - \sqrt{5}$.

答案： $y = x^2 - 4x + 1$，对称轴为$x = -\frac{-4}{2×1} = 2$，$a = 1 ＞ 0$，抛物线开口向上。
当$x = 4$时，$y = 4^2 - 4×4 + 1 = 1$。
令$y = 2$，则$x^2 - 4x + 1 = 2$，即$x^2 - 4x - 1 = 0$，解得$x = 2\pm\sqrt{5}$。
$2 + \sqrt{5}\approx4.236 ＞ 4$，区间$[2 + \sqrt{5}, 4]$不成立，舍去。
$2 - \sqrt{5}\approx-0.236$，区间$[2 - \sqrt{5}, 4]$，此时左端点$y = 2$，且区间内最大值为2。
故$m = 2 - \sqrt{5}$。
$2 - \sqrt{5}$

6. 已知二次函数$y= -x^{2}+bx+c的图象经过点(0,-3),(-6,-3)$.
(1)求$b,c$的值.
(2)当$-4 \leq x \leq 0$时,求$y$的最大值.
(3)当$m \leq x \leq 0$时,若$y$的最大值与最小值之和为2,求$m$的值.

答案：
(1)b=-6，c=-3；
(2)6；
(3)m=-2或m=-3-√10。

7. 已知二次函数$y= -(x-k)^{2}+17$,当$1 \leq x \leq 5$时,$y$有最小值1,则$k$的值为1或5.

答案： 1. 二次函数$y=-(x-k)^2+17$开口向下，对称轴为$x=k$，顶点坐标$(k,17)$（最大值点）。在区间$[1,5]$上的最小值在端点取得。
2. 当$x=1$时，$y=1$：$1=-(1-k)^2+17$，$(1-k)^2=16$，$1-k=\pm4$，解得$k=5$或$k=-3$。$k=5$在区间$[1,5]$内，符合。
3. 当$x=5$时，$y=1$：$1=-(5-k)^2+17$，$(5-k)^2=16$，$5-k=\pm4$，解得$k=1$或$k=9$。$k=1$在区间$[1,5]$内，符合。
4. 综上，$k=1$或$k=5$。
1或5

8. 已知二次函数$y= x^{2}-2mx+m^{2}+1$,当$-3 \leq x \leq -1$时,$y$的最小值为5,求$m$的值.

答案： $m = -5$或$m = 1$