《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$。点$M是AD$的中点,连接$CM交BD于点N$,且$ON = 1$。
(1)求$BD$的长；
(2)若$△DCN的面积为2$,求四边形$ABCD$的面积。
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答案： 解:
(1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠CBN，
∴△MND∽△CNB，
∴MD BC=DN BN.
∵点 M 是 AD 的中点，
∴MD=12AD=12BC，即MD BC=12，
∴DN BN=12，即 BN=2DN.
设 OB=OD=x，则有 BD=2x，BN=OB+ON=x+1,DN=x-1，
∴x+1=2(x-1)，
解得 x=3，
∴BD=2x=6.
(2)
∵△MND∽△CNB，且相似比为1:2，
∴MN:CN=1:2，
∴S△MND:S△CND=1:2.
∵△DCN 的面积为 2，
∴△MND 的面积为 1，
∴△MCD 的面积为 3.
∵S▱ABCD=AD⋅h，S△MCD=12MD⋅h=14AD⋅h，
∴S▱ABCD=4S△MCD=12.

11. 阅读下面的短文,并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体的大小不相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体。如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比$a:b$。
设$S_{甲}$,$S_{乙}$分别表示这两个正方体的表面积,则$\frac{S_{甲}}{S_{乙}} = \frac{6a^2}{6b^2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2$。
又设$V_{甲}$,$V_{乙}$分别表示这两个正方体的体积,则$\frac{V_{甲}}{V_{乙}} = \frac{a^3}{b^3} = \left(\frac{a}{b}\right)^3$。

(1)下列几何体中,一定属于相似体的是(A)。
A. 两个球
B. 两个圆锥
C. 两个圆柱
D. 两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于相似比；
②相似体的表面积的比等于相似比的平方；
③相似体的体积的比等于相似比的立方。
(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为$1.1 m$,体重为$18 kg$,到了九年级时身高为$1.65 m$,则他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)

答案： 解:
(1)A
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)由题意知他的体积比为(1.11.65)3.
又体重之比等于体积比，
若设九年级时的体重为 x kg，
则有(1.11.65)3=18x，
解得 x=60.75.
答:九年级时他的体重为 60.75 kg.