《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

8. 如果 $x:(x + y)= 3:5$,那么 $\frac{x - y}{x}$ 的值是(A).
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： A

9. 若 $\frac{a + b}{c}= \frac{b + c}{a}= \frac{c + a}{b}= k$,则 $k$ 的值为(C).
A.2
B.$-1$
C.2 或 $-1$
D.不存在

答案： C

10. 若 $a + b + c\neq0$,且 $\frac{a + b}{c}= \frac{b + c}{a}= \frac{c + a}{b}= p$,则直线 $y = px + p$ 不经过(D).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D

11. 若 $\frac{a}{3}= \frac{b}{4}= \frac{c}{6}$,则 $\frac{a + b}{b + c}= $$\frac{7}{10}$.

答案： $\frac{7}{10}$

12. 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 中,已知 $\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{EF}= \frac{AC}{DF}= \frac{2}{3}$,且 $\triangle DEF$ 的周长为 $18$ cm,则 $\triangle ABC$ 的周长为12cm.

答案： 12

13. 若 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,且 $b + d\neq0$,则 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{a + c}{b + d}$.
(1)请证明上述结论；
(2)若 $\frac{b + c}{a}= \frac{a + c}{b}= \frac{a + b}{c}= t$,求 $t^2 - t - 2$ 的值.

答案：
(1)证明:设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,
$\therefore a=kb$,$c=kd$.
$\because b+d\neq 0$,
$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$,
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$.
(2)解:根据题意有以下两种情况.
①当$a+b+c\neq 0$时,
$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$,
$\therefore t^{2}-t-2=2^{2}-2-2=0$;
②当$a+b+c=0$时,$b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$,
$\therefore \frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=-1$,
$\therefore t^{2}-t-2=(-1)^{2}-(-1)-2=0$.
综上所述,$t^{2}-t-2$的值为0.

14. 阅读下列解题过程,然后解题.
题目：已知 $\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}(a,b,c$ 互不相等),求 $x + y + z$ 的值.
解：设 $\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}= k$,则 $x = k(a - b)$,$y = k(b - c)$,$z = k(c - a)$,
$\therefore x + y + z = k(a - b + b - c + c - a)= k\cdot0 = 0$,$\therefore x + y + z = 0$.
依照上述方法解答下面的问题：
$a$,$b$,$c$ 均为非零实数,且 $a + b + c\neq0$,当 $\frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{-a + b + c}{a}$ 时,求 $\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$ 的值.

答案： 解:设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k$,
$\therefore a+b-c=kc$①,
$a-b+c=kb$②,
$-a+b+c=ka$③,
由①+②+③得$a+b+c=k(a+b+c)$.
$\because a+b+c\neq 0$,$\therefore k=1$,
$\therefore a+b=2c$,$a+c=2b$,$b+c=2a$,
$\therefore \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c× 2a× 2b}{abc}=8$.