《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. 某研究性学习小组开展了一次课外活动,将一块直角三角尺的直角顶点绕着矩形 $ABCD(AB ＜ BC)$ 的对角线交点 $O$ 旋转(如图①→图②→图③),图中 $M$,$N$ 分别为直角三角尺的直角边与矩形 $ABCD$ 的边 $CD$,$BC$ 的交点。
(1) 该学习小组中一名成员意外地发现：在图①(三角尺的一直角边与 $OD$ 重合)中,$BN^{2} = CD^{2} + CN^{2}$；在图③(三角尺的一直角边与 $OC$ 重合)中,$CN^{2} = BN^{2} + CD^{2}$。请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。
(2) 试探究图②中 $BN$,$CN$,$CM$,$DM$ 这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由。

答案：
解:
(1)选图①.
理由如下:如图①,连接DN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD.
∵∠DON=90°,
∴BN=DN.
∵∠BCD=90°,
∴DN²=CD²+CN²,
∴BN²=CD²+CN².
　　　　　　
(2)BN²+DM²=CM²+CN².
理由如下:如图②，延长NO交AD于点P,连接PM,MN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB,AD//BC,
∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.
在△BON和△DOP中,∠BNO=∠DPO,∠NBO=∠PDO,OB=OD,
∴△BON≌△DOP(AAS),
∴ON=OP,BN=DP.
∵∠MON=90°,
∴PM=MN.
∵∠ADC=∠BCD=90°,
∴PM²=PD²+DM²,MN²=CM²+CN²,
∴PD²+DM²=CM²+CN²,
∴BN²+DM²=CM²+CN².

11. 如图,将一张矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠,使点 $C$ 落在点 $A$ 处,点 $D$ 落在点 $E$ 处,直线 $MN$ 交 $BC$ 于点 $M$,交 $AD$ 于点 $N$,连接 $NC$。
(1) 求证：$CM = CN$；
(2) 若 $\triangle CMN$ 与 $\triangle CDN$ 的面积比为 $3:1$,求 $\frac{MN}{DN}$ 的值。

答案：

(1)证明:由折叠的性质易知∠ANM=∠CNM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,
∴∠ANM=∠CMN,
∴∠CMN=∠CNM,
∴CM=CN.
(2)解:如图，过点N作NH⊥BC于点H,

则四边形NHCD是矩形.
∴HC=DN,NH=DC.
∵△CMN与△CDN的面积比为3:1,
∴S△CMN/S△CDN=MC/DN=3,
∴MC=3ND=3HC,
∴MH=2HC.
设DN=x,则HC=x,MH=2x,
∴CM=CN=3x.
在Rt△CDN中,DC=√(CN² - DN²)=2√2x,
∴HN=2√2x.
∴在Rt△MNH中,MN=√(MH² + HN²)=2√3x,
∴MN/DN=2√3x/x=2√3.