《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

8. 如图,点 $E$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上任意一点,点 $F$ 是边 $AD$ 上一点,$\angle EFC = 90^{\circ}$,图中一定相似的三角形是(A).

A.①与②
B.③与④
C.②与③
D.①与④

答案： A

9. 如图,$\angle B= \angle ACD = 90^{\circ}$,$BC// AD$. 若 $AC = 8$,$AD = 10$,则 $AB= $(C).

A.36
B.40
C.4.8
D.5.6

答案： C

10. 如图,锐角三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 和边 $AC$ 上的高 $CE$ 和 $BF$ 相交于点 $D$,请写出图中一对相似三角形△ABF∽△ACE(或△BDE∽△CDF).

答案： △ABF∽△ACE(或△BDE∽△CDF)

11. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 2$,$BC = 1$,点 $E$ 是 $DC$ 上一点,$\angle DAE= \angle BAC$,则 $EC$ 的长为$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

12. 如图,$AE$,$BD$ 相交于点 $C$,$BA\perp AE$ 于点 $A$,$ED\perp BD$ 于点 $D$. 若 $AC = 4$,$AB = 3$,$CD = 2$,则 $CE= $2.5.

答案： 2.5

13. 如图,点 $D$ 在等边三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上,$\triangle ADE$ 为等边三角形,$DE$ 与 $AC$ 相交于点 $F$.
(1) 证明：$\triangle ABD\backsim\triangle DCF$；
(2) 除了 $\triangle ABD\backsim\triangle DCF$ 外,请直接写出图中其他所有的相似三角形.

答案：
(1)证明:
∵△ABC,△ADE为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=∠DFC+∠EDC=180°-60°=120°,
∴∠ADB=∠DFC,
∴△ABD∽△DCF.
(2)解:除了△ABD∽△DCF外,图中的相似三角形还有:△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.

14. 用等腰直角三角尺探秘：
如图,$\triangle ABC$,$\triangle DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle PDE = 90^{\circ}$.
(1) 若将 $\triangle DEP$ 的顶点 $P$ 放在 $BC$ 上(如图①),$PD$,$PE$ 分别与 $AC$,$AB$ 相交于点 $F$,$G$. 求证：$\triangle PBG\backsim\triangle FCP$.
(2) 若使 $\triangle DEP$ 的顶点 $P$ 与顶点 $A$ 重合(如图②),$PD$,$PE$ 分别与 $BC$ 相交于点 $F$,$G$. 试问 $\triangle PBG$ 与 $\triangle FCP$ 还相似吗？为什么？

答案：
(1)证明:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°,
∴∠BPG+∠CPF=135°.在△BPG中,
∵∠B=45°,
∴∠BPG+∠BGP=135°.
∴∠BGP=∠CPF.
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.
(2)解:△PBG与△FCP相似.理由如下:
∵△ABC,△DEP是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DPE=45°.
∵∠BGP=∠C+∠CAG=45°+∠CAG,∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG,
∴∠BGP=∠CPF.
∵∠B=∠C,
∴△PBG∽△FCP.