《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

7. 如图,已知 $D$,$E$ 分别是$\triangle ABC$的边 $AB$,$AC$ 上的一点,$DE// BC$,$AF\perp BC$于点 $F$,交 $DE$ 于点 $G$,且 $AD:AB = 5:12$,则$\frac{AG}{AF}$的值为(B).

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{7}{5}$

答案： B

8. 如图,$D$,$E$ 分别是 $AC$,$AB$ 上的点,$\angle ADE = \angle B$,$AG\perp BC$ 于点 $G$,$AF\perp DE$于点 $F$. 若 $AD = 3$,$AB = 5$,则$\frac{AG}{AF}= $$\frac{5}{3}$.

答案： $\frac{5}{3}$

9. 一块直角三角形木板的一条直角边 $AB$ 长为 $1.5$ m,面积为 $1.5$ $m^{2}$,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学设计加工方案,如图①所示的是甲同学的设计方案,如图②所示的是乙同学的设计方案. 你认为哪位同学设计的方案较好？判断并说明理由. (加工损耗忽略不计,计算结果可保留分数)

答案： 解:甲同学设计的方案较好.理由如下:由AB=1.5 m,$S_{\triangle ABC}=1.5\ m^2$,可得BC=2 m,
由图①,若设甲设计的正方形桌面边长为x m,
由DE//AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA,
∴$\frac{x}{AB}=\frac{BC-x}{BC}$,即$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$,
∴3-1.5x=2x,
$x=\frac{3}{3.5}=\frac{6}{7}$.
由图②,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH,交DE于点P,交AC于点H.
由AB=1.5 m,BC=2 m,得AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5$(m),
由AC·BH=AB·BC可得,
$BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{1.5×2}{2.5}=1.2$(m).
设乙设计的正方形桌面的边长为y m,
∵DE//AC,
∴Rt△BDE∽Rt△BAC,
∴$\frac{BP}{BH}=\frac{DE}{AC}$,
即$\frac{1.2-y}{1.2}=\frac{y}{2.5}$,解得$y=\frac{30}{37}$.
∵$\frac{6}{7}=\frac{30}{35}＞\frac{30}{37}$,即$x^2＞y^2$,
∴甲同学设计的方案较好.

10. 九(1)班数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后,发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去. 如我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形.”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方等. 请你参与这个学习小组,一同探索下列问题：
(1)写出判定菱形相似的一种判定方法；
(2)如图,将菱形 $ABCD$ 沿着直线 $AC$ 向右平移后得到菱形 $A'B'C'D'$,试证明：四边形 $A'FCE$ 是菱形,且菱形 $ABCD\backsim$菱形 $A'FCE$；
(3)若 $AC = \sqrt{2}$,菱形 $A'FCE$ 的面积是菱形 $ABCD$ 面积的一半,求平移的距离 $AA'$ 的长.

答案： 解:
(1)有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例).
(2)利用平移得AD//A'D',AB//A'B',∠DAB=∠D'A'B',
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD//BC,AB//CD,AD=AB
∴A'E//FC,A'F//EC,
∴四边形A'FCE为平行四边形.
∴A'E//AD,A'F//AB,
∴$\frac{A'E}{AD}=\frac{A'F}{AB}=\frac{A'C}{AC}$,
∴A'E=A'F,
∴□A'FCE为菱形.
又
∵∠DAB=∠D'A'B',
∴菱形ABCD∽菱形A'FCE.
(3)
∵菱形ABCD∽菱形A'FCE,菱形A'FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,
∴菱形ABCD与菱形A'FCE的面积比为2:1,
∴对应对角线之比为$\sqrt{2}:1$,即AC:A'C=$\sqrt{2}:1$.
∵AC=$\sqrt{2}$,
∴A'C=1,
∴AA'=$\sqrt{2}-1$.