《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6\ cm$,$BC = 8\ cm$,动点$P从点B$出发,在$BA边上以5\ cm/s的速度向点A$匀速运动,同时动点$Q从点C$出发,在$CB边上以4\ cm/s的速度向点B$匀速运动,运动时间为$t\ s(0 ＜ t ＜ 2)$,连接$PQ$.
(1)若$\triangle BPQ与\triangle ABC$相似,求$t$的值；
(2)连接$AQ$,$CP$,若$AQ\perp CP$,求$t$的值；
(3)试证明：$PQ的中点在\triangle ABC$的一条中位线上.
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答案： 解:
(1)解:①当△BPQ∽△BAC时，
∵$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，BP=5t，QC=4t，AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10$cm，BC = 8cm，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8 - 4t}{8}$，
∴t = 1.
②当△BPQ∽△BCA时，
∵$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}=\frac{8 - 4t}{10}$，
∴t = $\frac{32}{41}$，
∴t = 1或$\frac{32}{41}$时，△BPQ与△ABC相似.
(2)解:如图①，过点P作PM⊥BC于点M，AQ,CP交于点N,则有PB = 5t，PM = 3t，MC = 8 - 4t.
∵∠NAC+∠NCA = 90°,∠PCM+∠NCA = 90°,
∴∠NAC = ∠PCM且∠ACQ = ∠PMC = 90°,
∴△ACQ∽△CMP,
∴$\frac{AC}{CM}=\frac{CQ}{MP}$，
∴$\frac{6}{8 - 4t}=\frac{4t}{3t}$，
解得t = $\frac{7}{8}$.
(3)证明:如图②，取PQ的中点D,过点D作FE//AC与AB交于点F,与BC交于点E.过点P作PM//AC与BC交于点M.
∵PM//AC,FE//AC,
∴PM//DE,且D为PQ的中点,
∴$\frac{QD}{DP}=\frac{QE}{ME}=1$，
∴QE = ME.
由
(1)问知BM = QC = 4t，
∴BM+ME = QC+EQ,
∴BE = EC,即E为BC的中点.
又
∵PM//FE,
∴$\frac{BP}{BF}=\frac{BM}{BE}$，
即$\frac{5t}{BF}=\frac{4t}{4}$，
∴BF = 5,
∴F为AB的中点,
∴EF为△ABC的中位线,
∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.

11. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC平分\angle DAB$,$\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$,点$E是AB$的中点.
(1)求证：$AC^{2} = AB\cdot AD$；
(2)求证：$CE// AD$；
(3)若$AD = 4$,$AB = 6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
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答案：
(1)证明:
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC = ∠BAC.
又∠ADC = ∠ACB = 90°,
∴△ACD∽△ABC,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC² = AB·AD.
(2)证明:
∵∠ACB = 90°,点E为AB的中点,
∴CE = AE,
∴∠ACE = ∠EAC.
又
∵∠EAC = ∠DAC,
∴∠ACE = ∠DAC,
∴CE//AD.
(3)解:
∵CE//AD,
∴△CEF∽△ADF,
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{AD}$.
∵AB = 6,
∴CE = 3,
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$.