《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. (1)尝试：如图①,已知$A$,$E$,$B$三点在同一直线上,且$\angle A = \angle B = \angle DEC = 90^{\circ}$.
求证：$AE \cdot BE = AD \cdot BC$.
(2)一位同学在尝试了(1)后还发现：如图②、图③,只要$A$,$E$,$B$三点在同一直线上,且$\angle A = \angle B = \angle DEC$,则(1)中结论总成立. 你同意吗？请选择其中之一说明理由.

答案：
(1)证明:
∵∠A=∠B=∠DEC=90°,
∴∠DEA+∠CEB=90°.
∵∠DEA+∠D=90°,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BE}$,
∴AE·BE=AD·BC.
(2)解:同意.选图②.理由如下:
∵∠A=∠B=∠DEC,∠A+∠D=∠DEC+∠CEB,
∴∠D=∠CEB,
∴△ADE∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BE}$,
∴AE·BE=AD·BC.

11. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$,$F分别是边AD$,$CD$上的点,$AE = ED$,$DF = \frac{1}{4}DC$,连接$EF并延长交BC的延长线于点G$.
(1)求证：$\triangle ABE \backsim \triangle DEF$；
(2)若正方形的边长为$4$,求$BG$的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°.
∵AE=ED,
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵DF=$\frac{1}{4}$DC,
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$.又
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEF.
(2)解:
∵四边形ABCD为正方形,
∴ED//BG,
∴$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$.又
∵DF=$\frac{1}{4}$DC,正方形的边长为4,
∴ED=2,CG=6,
∴BG=BC+CG=10.