《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,点$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5$是△DEF 边上的 5 个格点,按要求完成下列各题：
(1)求证：△ABC 为直角三角形；
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并证明你的结论；
(3)画一个三角形,它的三个顶点为格点$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5$中的 3 个并且与△ABC 相似.(不写作法与证明)
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答案：
9.
(1)证明:根据勾股定理，得AB=2√5,AC=√5,BC=5,显然有AB²+AC²=BC²,根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
(2)解:△ABC与△DEF相似.
证明如下:根据勾股定理,得AB=2√5,AC=√5,BC=5,DE=4√2,DF=2√2,EF=2√10.
∵AB/DE=AC/DF=BC/EF=√10/4,
∴△ABC∽△DEF.
(3)解:如图中的△P₄P₅P₂.

10. 我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形,如果满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等”. 类似地你可以得到：如果“满足一个锐角对应相等或____两直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并完成解题过程.
如图,已知在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,∠C = ∠C' = 90°,AB/A'B'=AC/A'C'.
试证明 Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
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答案： 10.解:
(1)一个锐角对应相等　两直角边对应成比例
(2)斜边和一条直角边对应成比例
AB/A'B'=AC/A'C'
证明:设AB/A'B'=AC/A'C'=k,则AB=kA'B',AC=kA'C',BC/B'C'=√(AB²-AC²)/√(A'B'²-A'C'²)=√(k²A'B'²-k²A'C'²)/√(A'B'²-A'C'²)=k,
∴AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C',
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.