《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

12. 课题学习“$ An $ 系列纸”的研究：
纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用. 目前国际最常使用的是 $ ISO $ 所制定的标准,并将尺寸冠以编号,例如 $ A4 $,$ B5 $ 等. 在不同年代,全球各地也有当地通用的纸张尺寸. 在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上,使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性.
如图,$ An $ 系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；② $ A1 $ 纸对裁后可以得到两张 $ A2 $ 纸,$ A2 $ 纸对裁后可以得到两张 $ A3 $ 纸……$ An $ 纸对裁后可以得到两张 $ A(n + 1) $ 纸.
(1) 填空：$ A1 $ 纸面积是 $ A2 $ 纸面积的2倍,$ A2 $ 纸周长是 $ A4 $ 纸周长的2倍；
(2) 根据 $ An $ 系列纸张的规格特征,求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.

解:设 A1 纸的长和宽分别是 m,n,则 A2 纸的长和宽分别为 n,$\frac{1}{2}m$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{n}{\frac{1}{2}m}$,即$\frac{m}{n}=\sqrt{2}$,$\therefore$该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为$\sqrt{2}:1$.

答案： 解:
(1)2 2
(2)设 A1 纸的长和宽分别是 m,n,则 A2 纸的长和宽分别为 n,$\frac{1}{2}m$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{n}{\frac{1}{2}m}$,即$\frac{m}{n}=\sqrt{2}$,$\therefore$该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为$\sqrt{2}:1$.

13. 如图,矩形 $ ABCD $ 的长 $ AB = 30 $,宽 $ BC = 20 $.
(1) 如图①,若沿矩形 $ ABCD $ 四周有宽为 $ 1 $ 的环形区域,图中所形成的矩形 $ ABCD $ 与矩形 $ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} $ 相似吗？请说明理由.
(2) 如图②,$ x $ 为多少时,图中的矩形 $ ABCD $ 与矩形 $ A^{'}B^{'}C^{'}D^{'} $ 相似？

答案： 解:
(1)不相似.理由如下:$AB=30$,$A'B'=28$,$BC=20$,$B'C'=18$,$\because \frac{28}{30}\neq \frac{18}{20}$,$\therefore$两个矩形不相似.
(2)矩形 ABCD 与矩形$A'B'C'D'$相似,则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,则$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得$x=1.5$或$x=9$,所以当$x=1.5$或$x=9$时,图中的矩形ABCD与矩形$A'B'C'D'$相似.