《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

6. 如图,$□ABCD$ 的对角线 $AC$ 平分 $\angle BAD$. 求证：$□ABCD$ 是菱形.

答案： 证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.在□ABCD中,AD//BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∴∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC,
∴□ABCD是菱形.

7. 如图,小聪在作线段 $AB$ 的垂直平分线时,他是这样操作的：分别以点 $A$,$B$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧,两弧相交于点 $C$,$D$,则直线 $CD$ 即为所求. 根据他的作图方法可知四边形 $ADBC$ 一定是菱形,依据是四边相等的四边形是菱形.

答案： 菱形 四边相等的四边形是菱形

8. 如图,$A$ 是 $\angle MON$ 的边 $OM$ 上一点,$AE// ON$.
(1) 在图中作 $\angle MON$ 的平分线 $OB$,交 $AE$ 于点 $B$(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)；
(2) 在 (1) 中,过点 $A$ 画 $OB$ 的垂线,垂足为 $D$,交 $ON$ 于点 $C$,连接 $CB$,将图形补充完整,并证明四边形 $OABC$ 是菱形.

答案：

(1)如图,射线OB为所求.
(2)如图.证明如下:
∵OB平分∠MON,
∴∠AOB=∠BOC.
∵AE//ON,
∴∠ABO=∠BOC,
∴∠AOB=∠ABO,
∴AO=AB.
∵AD⊥OB,
∴BD=OD.在△ADB和△CDO中,∠ABD=∠COD,BD=OD,∠ADB=∠CDO,
∴△ADB≌△CDO(ASA),
∴AB=CO.
∵AB//OC,
∴四边形OABC是平行四边形.
∵AO=AB,
∴四边形OABC是菱形.

9. 阅读下列材料,完成后面的问题.
如图,在 $□ABCD$ 中,$\angle BAD$ 的平分线 $AE$ 与 $BC$ 相交于点 $E$,$\angle ABC$ 的平分线 $BF$ 与 $AD$ 相交于点 $F$,连接 $EF$,$AE$ 与 $BF$ 相交于点 $O$. 求证：四边形 $ABEF$ 是菱形.

证明：①∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
②∴$AD// BC$,
③∴$\angle ABE+\angle BAF = 180°$.
④∵$AE$,$BF$ 分别平分 $\angle BAF$,$\angle ABE$,
⑤∴$\angle 1= \angle 2= \frac{1}{2}\angle BAF$,$\angle 3= \angle 4= \frac{1}{2}\angle ABE$,
⑥∴$\angle 1+\angle 3= \frac{1}{2}(\angle BAF+\angle ABE)= 90°$,
⑦∴$\angle AOB = 90°$,
⑧∴$AE\perp BF$,
⑨∴四边形 $ABEF$ 是菱形.
(1) 上述证明是否正确？
答：不正确.
(2) 若有错误,在第⑨步推理错误,应在第______⑧步后添加如下证明过程：

答案：
(1)不正确
(2)⑨ ⑧
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠2.又
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠1,
∴BA=BE,同理AB=AF,
∴BE=AF,
∴四边形ABEF是平行四边形.