《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程的求根公式：一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$,当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时,它的根为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。

答案： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 一元二次方程根与系数的关系：如果方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$,那么 $x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$。

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

1. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程的两个根,不解方程,求其两根之和与两根之积：
(1) $x^{2}-3x + 2 = 0$,$x_{1}+x_{2}=$3,$x_{1}x_{2}=$2；
(2) $x^{2}-4x - 1 = 0$,$x_{1}+x_{2}=$4,$x_{1}x_{2}=$-1；
(3) $3x^{2}-2x = 2$,$x_{1}+x_{2}=$$\frac{2}{3}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{2}{3}$；
(4) $\frac{2}{3}x^{2}+3x = 0$,$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{9}{2}$,$x_{1}x_{2}=$0；
(5) $3x^{2}-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}= 0$,$x_{1}+x_{2}=$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案：
(1)3 2
(2)4 -1
(3)$\frac{2}{3}$ $-\frac{2}{3}$
(4)$-\frac{9}{2}$ 0
(5)$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. 已知方程 $x^{2}-2025x - 1 = 0$ 的两个根为 $a,b$,则 $a^{2}b + ab^{2}-ab= $-2024。

答案： -2 024

3. (1) 如果 $-2$ 是关于 $x$ 的方程 $5x^{2}+kx - 10 = 0$ 的一个根,则方程的另一个根为1,$k=$5；
(2) 如果 $2+\sqrt{3}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x - c = 0$ 的一个根,则方程的另一个根为$2-\sqrt{3}$,$c=$-1。

答案：
(1)1 5
(2)$2-\sqrt{3}$ -1

4. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $3x^{2}-2x - 7 = 0$ 的两个根,不解方程,利用一元二次方程根与系数的关系求下列各式的值：
(1) $x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$；
(2) $(x_{1}-x_{2})^{2}$；
(3) $(x_{1}+\frac{1}{x_{2}})(x_{2}+\frac{1}{x_{1}})$；
(4) $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$。

答案： 解:$x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3},x_{1}x_{2}=-\frac{7}{3}.$
(1)原式$=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-\frac{14}{9};$
(2)原式$=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{4}{9}-4×(-\frac{7}{3})=\frac{88}{9};$
(3)原式$=x_{1}x_{2}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}+2=-\frac{16}{21};$
(4)原式$=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{46}{21}.$