《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 24\ cm$,$BC = 8\ cm$,点 $P$ 从点 $A$ 开始沿折线 $A - B - C - D$ 以 $4\ cm/s$ 的速度移动,点 $Q$ 从点 $C$ 开始沿 $CD$ 边以 $2\ cm/s$ 的速度移动,如果点 $P$,$Q$ 分别从点 $A$,$C$ 同时出发,当其中一点到达点 $D$ 时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为 $t(s)$,当 $t$ 为多少时,四边形 $QPBC$ 为矩形?

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,CD//AB,
∴只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形.由题意得CQ=2t cm,AP=4t,则BP=(24-4t)cm,
∴2t=24-4t,
∴t=4,即当t为4时,四边形QPBC为矩形.

9. 阅读下面的材料.
在数学课上,老师请同学们思考如下问题：如图①,我们把一个四边形 $ABCD$ 的四边中点 $E$,$F$,$G$,$H$ 依次连接起来得到的四边形 $EFGH$ 是平行四边形吗?
小敏在思考问题时,有如下思路：连接 $AC$.
```
点 E,F 分别是 AB,BC 的中点 → 三角形中位线定理 → EF//AC, EF = 1/2 AC
点 G,H 分别是 CD,AD 的中点 → 三角形中位线定理 → GH//AC, GH = 1/2 AC
→ EF//GH, EF = GH → 四边形 EFGH 是平行四边形
```
结合小敏的思路作答：

(1) 若只改变图①中四边形 $ABCD$ 的形状(如图②),则四边形 $EFGH$ 还是平行四边形吗? 请说明理由.
(2) 如图②,在(1)的条件下,若连接 $AC$,$BD$.
①当 $AC$ 与 $BD$ 满足什么条件时,四边形 $EFGH$ 是菱形? 写出结论并证明.
②当 $AC$ 与 $BD$ 满足什么条件时,四边形 $EFGH$ 是矩形? 直接写出结论.

答案： 解:
(1)四边形EFGH还是平行四边形.理由如下:连接AC.
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF//AC,EF=1/2AC.
∵G,H分别是CD,AD的中点,
∴GH//AC,GH=1/2AC,
∴EF//GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形.证明如下:由
(1)可知四边形EFGH是平行四边形,当AC=BD时,FG=1/2BD,EF=1/2AC,
∴FG=EF,
∴四边形EFGH是菱形.②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.