《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

13. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ }$,点$E是AC$的中点,$AC= 2AB$,$∠BAC的平分线AD交BC于点D$,作$AF// BC$,连接$DE并延长交AF于点F$,连接$FC$. 求证：四边形$ADCF$是菱形.
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答案： 证明:
∵AF//CD，
∴∠AFE=∠CDE.
在△AFE和△CDE中，∠AFE=∠CDE，∠AEF=∠CED，AE=CE，
∴△AFE≌△CDE(AAS)，
∴AF=CD.
又
∵AF//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠B=90°，AC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC，
∴四边形ADCF是菱形.

1. 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形。

答案： 直角

2. 矩形的性质
文字语言：
①矩形是特殊的平行四边形,矩形具有一般平行四边形的所有性质；
②矩形的四个角都是直角；
③矩形的对角线相等且互相平分。
图形及符号语言：

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD。
矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。它有两条对称轴。

答案： ①平行四边形 一般平行四边形 ②直角 ③相等且互相平分 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD 轴 中心 两

3. 矩形的周长等于长与宽的和的两倍,面积等于______长乘宽。

答案： 长与宽的和的两倍 长乘宽

4. 文字语言：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

图形及符号语言：
∵在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,O为AC的中点,
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=AO=OC。

答案： 斜边上的中线 OB=$\frac{1}{2}$AC=AO=OC