《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

8. 如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的点F处,DF交BC于点E。
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD= 2,∠ADB= 30°,求BE的长。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠C=90°.根据折叠的性质知,∠F=∠A=∠C=90°,BF=BA=CD.在△DCE和△BFE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DEC=∠BEF,\\ ∠C=∠F,\\ CD=FB,\end{array}\right. $
∴△DCE≌△BFE(AAS).
(2)解:
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC=30°.根据折叠的性质知∠ADB=∠FDB=30°.又∠ADC=90°,
∴∠EDC=30°.在Rt△BCD中,
∵CD=2,∠DBC=30°,
∴BC=$2\sqrt{3}$.在Rt△DCE中,
∵CD=2,∠EDC=30°,
∴DE=2EC,
∴$(2EC)^{2}-EC^{2}=CD^{2}$,
∴EC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

9. 如图,在矩形ABCD中,BC边所在直线上有E,F两点,且BE= CF,请用无刻度的直尺画出该图的对称轴。

答案：
解:如图,①连接EA,FD并分别延长,相交于点M; ②连接AC,BD,相交于点N;③作直线MN. 则直线MN即为该图的对称轴.