《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

12. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $BD$,$AC$ 的长分别为 $12$ 和 $16$,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$AD$ 的中点,$H$ 是对角线 $BD$ 上任意一点,则 $HE + HF$ 的最小值是10.

答案： 10

13. 如图,四边形 $ABCD$ 是边长为 $2$,一个锐角等于 $60^{\circ}$ 的菱形纸片. 小芳同学将一块三角形纸片的一个顶点与该菱形纸片的顶点 $D$ 重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交 $CB$,$BA$(或它们的延长线)于点 $E$,$F$,$\angle EDF = 60^{\circ}$. 当 $CE = AF$ 时,如图①,小芳同学得出的结论是 $DF = DE$.
(1) 继续旋转三角形纸片,当 $CE\neq AF$ 时,如图②,小芳的结论是否成立？若成立,加以证明；若不成立,请说明理由.
(2) 再次旋转三角形纸片,当点 $E$,$F$ 分别在 $CB$,$BA$ 的延长线上时,如图③,请写出 $DF$ 与 $DE$ 的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)小芳的结论成立.证明如下:如图①,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB.又
∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠A=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.在△ADF和△BDE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADF=∠BDE,\\ AD=BD,\\ ∠A=∠DBE,\end{array}\right. $
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE.
(2)DF=DE.理由如下:如图②,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB.又
∵∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠CBD=∠ADB=60°.
∵∠DAB=60°,
∴∠DAF=∠DBE.在△ADF和△BDE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADF=∠BDE,\\ AD=BD,\\ ∠DAF=∠DBE,\end{array}\right. $
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE.