《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在 $□ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别为边 $AB$,$CD$ 的中点,$BD$ 是对角线.
(1) 求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$.
(2) 若 $\angle ADB$ 是直角,则四边形 $BEDF$ 是哪种特殊四边形？证明你的结论.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C.
∵点E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,CF=$\frac{1}{2}$CD,
∴AE=CF.在△ADE和△CBF中,AD=CB,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解:若∠ADB是直角,则四边形BEDF是菱形.证明如下:由
(1)可得BE=DF,又
∵AB//CD,
∴四边形BEDF是平行四边形.如图,连接EF,在□ABCD中,点E,F分别为边AB,CD的中点,
∴DF//AE,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴EF//AD.
∵∠ADB是直角,
∴AD⊥BD,
∴EF⊥BD.又
∵四边形BEDF是平行四边形,
∴四边形BEDF是菱形.