《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

5. 如图,在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是边 $AB$ 上的一点,且 $AE = 3$,点 $Q$ 为对角线 $AC$ 上的动点,则 $\triangle BEQ$ 周长的最小值为6。

答案： 6

6. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别在边 $BC$,$AB$ 上,$AE$,$DF$ 交于点 $G$,且 $AE = DF$,试判断 $AE$ 和 $DF$ 的位置关系,并证明你的结论。

答案： 解:AE⊥DF.
证明如下:
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°.
又
∵AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(HL),
∴∠ADF=∠BAE.
∵∠DAF=90°,
∴∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠ADF+∠DAE=90°,
∴AE⊥DF.

7. 如图,已知 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上一点,$AE = AD$,过点 $E$ 作 $AC$ 的垂线,交边 $CD$ 于点 $F$,连接 $AF$,那么 $\angle FAD= $22.5°。

答案： 22.5°

8. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,$AC$,$BD$ 是对角线。将 $\triangle DCB$ 绕着点 $D$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到 $\triangle DGH$,$HG$ 交 $AB$ 于点 $E$,连接 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,连接 $FG$,则下列结论：
① 四边形 $AEGF$ 是菱形；
② $\triangle AED\cong\triangle GED$；
③ $\angle DFG = 112.5^{\circ}$；
④ $BC + FG = 1.5$。
其中正确的有①②③。(填序号)

答案： ①②③

9. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,以对角线 $AC$ 为边作第 $2$ 个正方形,再以对角线 $AE$ 为边作第 $3$ 个正方形……如此下去,第 $n$ 个正方形的边长为$(\sqrt{2})^{n-1}$。

答案： $(\sqrt{2})^{n-1}$

10. 如图,小明把两个大小完全一样的正方形放置在一起,他发现正方形 $A'B'C'O$ 绕点 $O$ 无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 $\frac{1}{4}$,请你说明其中的理由。

答案： 解:
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAE=∠OBF=45°,BO⊥AC,
即∠AOE+∠EOB=90°.
又
∵四边形A'B'C'O为正方形，
∴∠A'OC'=90°,即∠BOE+∠BOF=90°,
∴∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△BOF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AOE=∠BOF,\\ AO=BO,\\ ∠OAE=∠OBF,\end{array}\right. $
∴△AOE≌△BOF(ASA).
则两个正方形重叠部分的面积=$S_{\triangle BOF}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AEO}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle ABO}=$一个正方形面积的$\frac{1}{4}$.