《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,先把 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle DBE$ 后,再把 $\triangle ABC$ 沿射线 $AB$ 平移得到 $\triangle FEG$,$DE$,$FG$ 相交于点 $H$.
(1)判断线段 $DE$,$FG$ 的位置关系,并说明理由；
(2)连接 $CG$,求证：四边形 $CBEG$ 是正方形.

答案：
(1)解:FG⊥ED.
理由如下:
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE,
∴∠DEB=∠ACB.
∵把△ABC沿射线AB平移得到△FEG,
∴∠GFE=∠A.
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠DEB+∠GFE=90°,
∴∠FHE=90°,
∴FG⊥ED.
(2)证明:根据旋转和平移可得∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG//EB,CB=BE.
∵CG//EB,
∴∠BCG=∠CBE=90°,
∴四边形CBE G是矩形.
∵CB=BE,
∴四边形CBE G是正方形.

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AE$,$BE$,$CG$,$DG$ 分别是各内角的平分线,$E$,$F$,$G$,$H$ 分别为它们的交点. 求证：四边形 $EFGH$ 是正方形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BAD=90°,AD=BC.
∵在矩形ABCD中,AE,BE,CG,DG分别是各内角的平分线,
∴∠ADF=∠FAD=45°,
∴△ADF是等腰直角三角形,
同理,△ABE,△BCH,△CDG都是等腰直角三角形,且△ADF≌△BCH,△ABE≌△DCG,
则AE=BE=CG=DG,AF=DF=BH=CH,
∴EF=EH.
又
∵∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°,
∴四边形EFGH是矩形,
∴四边形EFGH是正方形.