《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

5. 若 $m,n$ 是方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $m^{2}+2m + n$ 的值为0。

答案： 0

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x + c = 0$ 的一个根 $x_{1}$ 是另一个根 $x_{2}$ 的 2 倍,则 $x_{1}=$2,$x_{2}=$1。

答案： 2 1

7. 设 $m,n$ 分别为一元二次方程 $x^{2}+2x - 2025 = 0$ 的两个实数根,则 $m^{2}+4m + 2n= $2021。

答案： 2 021

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2x + a - 2 = 0$。
(1) 若该方程有两个不相等的实数根,求实数 $a$ 的取值范围；
(2) 若该方程的一个根为 1,求该方程的另一个根及 $a$ 的值。

答案：
(1)$\because \Delta =4-4(a-2)=12-4a＞0,\therefore a＜3$,即a的取值范围是$a＜3.$
(2)该方程的另一根为-3,a的值是-1.

9. 法国数学家韦达在数学研究方面有杰出的贡献和深远的影响,他常常在工作之余致力于数学研究。当韦达被奇异的数学吸引住时,就会一连数日闭门不出,进行思考与研究。当时,他和好几位数学家都研究并发现了方程的根与系数的关系。因为韦达的论文发表得较早,影响也大,因此后人习惯上把一元 $n$ 次($n$ 为正整数)方程的根与系数的关系定理称为韦达定理。请同学们研究一个特殊的一元三次方程的根与系数的关系。
$a,b,c$ 是方程 $x^{3}+px + q = 0$ 的三个根(三次方程有三个根),那么这个方程可以写为 $(x - a)(x - b)(x - c)= 0$,然后把这个方程拆开为 $x^{3}-(a + b + c)x^{2}+(ab + ac + bc)x - abc = 0$,对比原来的方程,可以看出：$a + b + c=$0,$p=$$ab+ac+bc$,$q=$$-abc$。

答案： 0 $ab+ac+bc$ $-abc$

10. 关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 为何值,方程总有实数根。
(2) 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$ 的两个根,记 $S= \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}$,$S$ 的值能为 2 吗？若能,求出此时 $k$ 的值；若不能,请说明理由。

答案：
(1)证明:①当$k-1=0$,即$k=1$时,方程为一元一次方程$2x+2=0$,解得$x=-1,$$\therefore$方程有一个实数根;②当$k-1≠0$,即$k≠1$时,方程为一元二次方程,$\Delta =(2k)^{2}-4×2(k-1)=4k^{2}-8k+8=4(k-1)^{2}+4＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根.综合①②得无论k为何值,方程总有实数根.
(2)解:$\because x_{1}+x_{2}=-\frac{2k}{k-1},x_{1}\cdot x_{2}=\frac{2}{k-1},\therefore S=\frac{4k^{2}-8k+4}{2k-2}=2,k^{2}-3k+2=0,\therefore k_{1}=1,k_{2}=2.\because$方程为一元二次方程,$\therefore k-1≠0,\therefore k_{1}=1$应舍去,$\therefore$当$k=2$时,S的值为2,$\therefore$S的值能为2,此时k的值为2.