《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

6. 若矩形 $ ABCD $ 的两邻边长分别为一元二次方程 $ x^2 - 7x + 12 = 0 $ 的两个实数根,则矩形 $ ABCD $ 的对角线长为5。

答案： 5

7. 一个三角形的两边长分别为 $ 6 $ 和 $ 8 $,第三边长是方程 $ x^2 - 16x + 60 = 0 $ 的一个根,则该三角形的面积是24或$8\sqrt{5}$。

答案： 24或$8\sqrt{5}$

8. 在实数范围内定义一种运算“ $ * $ ”, $ a * b = a^2 - b^2 $,根据这个规则,方程 $ (x + 2) * 5 = 0 $ 的解为$x_{1}=3,x_{2}=-7$。

答案： $x_{1}=3,x_{2}=-7$

9. 放铅笔的 $ V $ 形槽如图,每往上一层可以多放一支铅笔,现有 $ 190 $ 支铅笔,则要放多少层？

答案： 解:设190支铅笔可放x层.$\frac{1}{2}x(x + 1)=190$,解得$x_{1}=19,x_{2}=-20$(不合题意，舍去).答:190支铅笔可放19层.

10. 如图,将正方形沿图中虚线(其中 $ x ＜ y $)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)。
(1)画出拼成的矩形的简图；
(2)求 $ \frac{x}{y} $ 的值。

答案：

(1)如图所示.
(2)由拼图前后的面积相等得$[(x + y)+y]y=(x + y)^{2}$.因为$y\neq0$,所以上式整理得$(\frac{x}{y})^{2}+\frac{x}{y}-1=0$.解得$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值不合题意，已舍去).

11. 书籍是人类进步的阶梯！为爱护书,一般都将书用封皮包好。
问题 1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图①所示(单位：$ cm $),若按图②的包书方式,将封面和封底各折进去 $ 3 \, cm $。试用含 $ a,b,c $ 的代数式分别表示词典封皮(包书纸)的长是$2b + c + 6$$ cm $,宽是$a$$ cm $。

问题 2：在如图④所示的矩形包书纸皮示意图中,虚线为折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长即为折叠进去的宽度。
(1)如图③,有一数学书长为 $ 26 \, cm $,宽为 $ 18.5 \, cm $,厚为 $ 1 \, cm $。用一张面积为 $ 1260 \, cm^2 $ 的矩形纸包好了这本数学书,封皮展开后如图④所示。若设包书纸四角小正方形的边长(即折叠的宽度)为 $ x \, cm $,则包书纸长为$2x + 38$$ cm $,宽为$26 + 2x$$ cm $。(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2)列出方程,求出(1)中小正方形的边长。
解:列方程得$(2x + 38)(26 + 2x)=1260$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-34$(舍去).答:包书纸四角小正方形的边长为2cm.

答案： 问题1:(2b + c + 6)；a 问题2:
(1)(2x + 38)；(26 + 2x)
(2)解:列方程得$(2x + 38)(26 + 2x)=1260$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-34$(舍去).答:包书纸四角小正方形的边长为2cm.