《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE。过点C作CF//BD交线段OE的延长线于点F,连接DF。
求证：
(1)△ODE≌△FCE；
(2)四边形ODFC是菱形。

答案：
(1)证明:
∵CF//BD,
∴∠ODE=∠FCE.
∵E是CD的中点,
∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ODE=∠FCE,\\ CE=DE,\\ ∠DEO=∠CEF,\end{array}\right. $
∴△ODE≌△FCE(ASA).
(2)
∵△ODE≌△FCE,
∴OD=FC.
∵CF//BD,
∴四边形ODFC是平行四边形.又
∵在矩形ABCD中,OC=OD,
∴四边形ODFC是菱形.

矩形的判定

①由定义判定
文字语言：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
图形及符号语言：
∵在□ABCD中,∠DAB=90°,
∴四边形 $ABCD$ 是矩形.
②由对角线判定
文字语言：
对角线相等的平行四边形是矩形.
图形及符号语言：
∵在□ABCD中,AC=BD,
∴四边形 $ABCD$ 是矩形.
③由角判定
文字语言：
有三个角是直角的四边形是矩形.
图形及符号语言：
∵在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°,
∴四边形 $ABCD$ 是矩形.

答案： ①直角 在□ABCD中,∠DAB=90° ②相等 在□ABCD中,AC=BD ③直角 在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°