《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册北师大版》

9. 先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题。
例题：求代数式 $ 2y^{2}+4y + 8 $ 的最小值。
解：$ 2y^{2}+4y + 8 = 2(y^{2}+2y + 4)= 2[(y + 1)^{2}+3]= 2(y + 1)^{2}+6 $,
$ \because 2(y + 1)^{2}\geq0 $,
$ \therefore 2(y + 1)^{2}+6\geq6 $,
$ \therefore 2y^{2}+4y + 8 $ 的最小值是 $ 6 $。
(1)求代数式 $ 2m^{2}+m + 1 $ 的最小值；
(2)求代数式 $ 4 - x^{2}+2x $ 的最大值。

答案：
(1)$2m^2+m+1=2\left(m+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}$,$\because 2\left(m+\frac{1}{4}\right)^2\geqslant0$,$\therefore 2\left(m+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\geqslant\frac{7}{8}$,则$2m^2+m+1$的最小值是$\frac{7}{8}$.
(2)$4-x^2+2x=-(x-1)^2+5$,$\because -(x-1)^2\leqslant0$,$\therefore -(x-1)^2+5\leqslant5$,则$4-x^2+2x$的最大值为5.

10. 一元二次方程 $ x^{2}-6x - 5 = 0 $ 配方后可变形为(A)。
A.$ (x - 3)^{2}= 14 $
B.$ (x - 3)^{2}= 4 $
C.$ (x + 3)^{2}= 14 $
D.$ (x + 3)^{2}= 4 $

答案： A

11. 解方程：$ x^{2}-2x = 4 $。

答案： 解:配方得$x^2-2x+1=4+1$,$\therefore (x-1)^2=5$,$\therefore x=1\pm\sqrt{5}$,$\therefore x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.