《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

4. 下列说法符合正 $ n $ 边形特征的共有(C)。
①各条边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引 $ (n - 3) $ 条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线把正 $ n $ 边形分成 $ (n - 2) $ 个三角形。
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： C

5. 转化是一种重要的数学思想方法。如图,在探究圆面积公式时,把一个圆先平均分成若干等份,再剪开拼成一个近似的长方形。那么这个长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽就是圆的半径,因此圆的面积是π×半径的平方。

答案： 周长的一半　半径　π×半径的平方

6. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中“去掉”$ \angle C $ 后,剩下的新图形是几边形？请画出裁剪线。

答案： 解:剩下的新图形是三角形、四边形或五边形。如图，对应的裁剪线分别是BD，DE或FG。(裁剪线不唯一，只要符合题意即可)

7. 【综合与实践】探究在封闭的平面图形中,图形的顶点数、边数(边指图中任意两点间的线段)和所分割成的区域数之间的数量关系。已知图①、图②、图③和图④,根据图形解决下列问题。
(1)数一数每个图形各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少区域,并将结果填入表格中(图②已填好)；
| 序号 | 顶点数 | 边数 | 区域数 |
| 图① | 4 | 6 | 3 |
| 图② | 8 | 12 | 5 |
| 图③ | 6 | 9 | 4 |
| 图④ | 10 | 15 | 6 |

(2)观察上表,猜想一个平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系；
顶点数+区域数-边数=1。
(3)若一个平面图有10个顶点和8个区域,试根据(2)中的猜想,判断这个平面图有多少条边。

根据(2)可知，边数=顶点数+区域数−1=10+8−1=17。因此这个图形有17条边。

答案： 解:
(1)序号　顶点数　边数　区域数 图①　4　6　3 图②　8　12　5 图③　6　9　4 图④　10　15　6
(2)顶点数+区域数-边数=1。
(3)根据
(2)可知，边数=顶点数+区域数−1=10+8−1=17。因此这个图形有17条边。

8. 【综合与实践】七年级数学活动小组在探究“$ n $ 边形($ n ＞ 3 $)共有多少条对角线”时,画出如下的图形,应用得到的结果解决以下问题。

(1)通过探究发现,$ n $ 边形($ n ＞ 3 $)从一个顶点出发可以作 $n - 3$ 条对角线,$ n $ 边形一共有 $\frac{n(n - 3)}{2}$ 条对角线。
(2)过 $ n $ 边形($ n ＞ 3 $)的一个顶点的所有对角线条数,与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为 1005 吗？若能,请求出这个多边形的边数；若不能,请说明理由。
能。由题意得$n - 3 + n - 2 = 1005$，解得$n = 505$。因此，这个多边形的边数是505。
(3)某学校举办青年教师说课比赛,最终共有7名教师获奖。表彰大会上,这7名教师见面时相互握手祝贺对方。为了方便,把这7名教师分别用A,B,C,D,E,F和G表示,已知A已握了6次手,B已握了5次手,C已握了5次手,D已握了4次手,E已握了4次手,F已握了2次手,请用类比的方法推算G已与哪些获奖教师握过手。
G与A和C(或B)握过手了。

答案： 解:
(1)$n - 3$　$\frac{n(n - 3)}{2}$
(2)能。　由题意得$n - 3 + n - 2 = 1005$，解得$n = 505$。因此，这个多边形的边数是505。
(3)如图，G与A和C(或B)握过手了。