《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

10. 【综合与实践】某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为 $ 1 - 100 $ 的 $ 100 $ 盏灯,分别对应着编号为 $ 1 - 100 $ 的 $ 100 $ 个开关,灯分为“亮”和“不亮”两种状态,每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态,所有灯的初始状态为“不亮”。现有 $ 100 $ 个人,第 $ 1 $ 个人把所有编号是 $ 1 $ 的整数倍的开关按一次,第 $ 2 $ 个人把所有编号是 $ 2 $ 的整数倍的开关按一次,第 $ 3 $ 个人把所有编号是 $ 3 $ 的整数倍的开关按一次……第 $ 100 $ 个人把所有编号是 $ 100 $ 的整数倍的开关按一次。最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数,从中找出规律。
乙：$ 1 $ 号开关只被第 $ 1 $ 个人按了 $ 1 $ 次,$ 2 $ 号开关被第 $ 1 $ 个人和第 $ 2 $ 个人共按了 $ 2 $ 次,$ 3 $ 号开关被第 $ 1 $ 个人和第 $ 3 $ 个人共按了 $ 2 $ 次……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态。
根据以上同学的思维过程,可以得出最终状态为“亮”的灯共有10盏。

答案： 10

11. 【综合与实践】观察下表,解答下列问题。

(1) 根据表格中的信息可知：$ m= $______-3,$ n= $______-1。
[发现规律]
(2) 表格中代数式 $ 2x - 1 $ 的值的变化规律：$ x $ 的值每增加 $ 1 $,$ 2x - 1 $ 的值就增加 $ 2 $；类似地,代数式 $ -2x + 3 $ 的值的变化规律：$ x $ 的值每增加 $ 1 $,$ -2x + 3 $ 的值就______减少2。
[计算验证]
(3) 当 $ x $ 的值从 $ a $ 增加到 $ a + 2 $ 时,猜想代数式 $ -3x + 3 $ 的值会怎样变化,请你通过计算加以说明。
猜想代数式-3x+3的值会减少6。说明如下:当x=a时,-3x+3=-3a+3;当x=a+2时,-3x+3=-3(a+2)+3=-3a-6+3=-3a-3。因为-3a-3-(-3a+3)=-6,所以当x的值从a增加到a+2时,代数式-3x+3的值会减少6。

答案：
(1)-3 -1
(2)减少2
(3)猜想代数式-3x+3的值会减少6。说明如下:当x=a时,-3x+3=-3a+3;当x=a+2时,-3x+3=-3(a+2)+3=-3a-6+3=-3a-3。因为-3a-3-(-3a+3)=-6,所以当x的值从a增加到a+2时,代数式-3x+3的值会减少6。