《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

6. 有下列说法：①一个数同$-1$相乘,得这个数的相反数；②一个数同$0相乘仍得0$；③倒数等于本身的数是$0和\pm 1$；④若两数异号,则这两数的乘积必为负数。其中正确的有(C)。
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： C

7. 【数学游戏】规定一种新运算：$a \triangle b = -a(b + 1)$,如$3 \triangle 4 = -3 × (4 + 1) = -15$。请解答下列问题：
(1) 求$6 \triangle (-2)$的值。
(2) 新运算“$\triangle$”满足交换律吗？请举例说明。

答案： 解：（1）$6\triangle(-2)=-6×(-2+1)=6$。
（2）不满足。比如$(-2)\triangle6=2×(6+1)=14$。而（1）中$6\triangle(-2)=6$，“△”前后的数字交换后结果并不相同。（答案不唯一，能正确举例即可）

8. 【数学应用】如果高度每增加$1\ km$,气温大约下降$6\ ^{\circ}C$,现在地面的气温是$23\ ^{\circ}C$,某飞机在该地上空$5\ km$处,那么此时飞机所在高度的气温是$-7^{\circ}C$。

答案： $-7^{\circ}C$

9. 数学课上,小丽和小英为下面一道题的解法争论了起来：
$\begin{aligned}(-4 \frac{5}{6}) × 8 \frac{3}{5} &= - (4 \frac{5}{6} × 8 \frac{3}{5})\\&= - (4 × 8 × \frac{5}{6} × \frac{3}{5})\\&= - (32 × \frac{1}{2}) = -16。\end{aligned} $
小丽说正确,而小英说不正确,你能给她们评判一下吗？如果不正确,请你写出正确的解题过程。

答案： 解：不正确。
$(-4\frac{5}{6})×8\frac{3}{5}$
$=(-\frac{29}{6})×\frac{43}{5}$
$=-\frac{1247}{30}$。

10. 定义：$a是不为1$的有理数,我们把$\frac{1}{1 - a}称为a$的差倒数。例如$2的差倒数是\frac{1}{1 - 2} = -1$,$-1的差倒数是\frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$。
已知$a_1 = -\frac{1}{3}$,$a_2是a_1$的差倒数,$a_3是a_2$的差倒数,$a_4是a_3$的差倒数,依此类推。求：
(1) $a_2$,$a_3$,$a_4$的值；
(2) $a_1 + a_2 + a_3 + … + a_{2030}$的值。

答案： 解：（1）因为$a_{1}=-\frac{1}{3}$，
所以$a_{2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$，
$a_{3}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4$，
$a_{4}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$。
（2）根据（1）知，每三个数为一个循环组，因为$a_{1}+a_{2}+a_{3}=-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+4=\frac{53}{12}$，$2030÷3=676\cdots\cdots2$，所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2030}=\frac{53}{12}×676-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{35833}{12}$。