《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

1. 探索规律是深入认识事物的一种方法,通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式,历经从具体到抽象的过程,从而揭示一般规律。
[问题提出]如图①,用火柴棒搭正方形,我们准备探究正方形个数与所需火柴棒的根数之间的关系。

设搭$n$个正方形时，所需的火柴棒根数为$S$。
观察图形可得：
当$n = 1$时，$S = 4$；
当$n = 2$时，$S = 7$；
当$n = 3$时，$S = 10$；
$\cdots$
由此可归纳出$S$与$n$的关系为$S = 3n + 1$。

答案： 设搭$n$个正方形时，所需的火柴棒根数为$S$。
观察图形可得：
当$n = 1$时，$S = 4$；
当$n = 2$时，$S = 7$；
当$n = 3$时，$S = 10$；
$\cdots$
由此可归纳出$S$与$n$的关系为$S = 3n + 1$。

(1)小明是按照图②思考的,请根据他的思考方法求出搭$x$个正方形所需火柴棒根数的代数式。
(2)你还有其他能得到正方形的个数$x$与所需火柴棒根数之间关系的思考方法吗？请画出对应图形,并求出代数式。
[问题拓展]改变火柴棒的摆法搭成别的图形,请画出图形,并求出图形个数$x$与所需火柴棒根数之间关系的代数式。

答案：
1.解:[问题解决]
(1)搭x个正方形需要4+3(x−1)=(3x+1)根。
(2)思路不唯一。例如:如图， 搭1个正方形需要(4×1−0)根，搭2个正方形需要(4×2−1)根，搭3个正方形需要(4×3−2)根，……所以搭x个正方形需要4x-(x−1)=(3x+1)根。[问题拓展]答案不唯一。如图，按如下方式搭正五边形。 同理可得，搭x个正五边形所需火柴棒的根数为5+4(x−1)=(4x+1)根。

1. 为了确定$3^{2048}$的末位数字,我们可以先从简单的特例入手探究,通过计算得到$3^{1}= 3$,$3^{2}= 9$,$3^{3}= 27$,$3^{4}= 81$,$3^{5}= 243$,$3^{6}= 729$,$3^{7}= 2187$,…$$。观察归纳上述算式中的规律,可知$3^{2048}$的末位数字是(D)。
A.3
B.9
C.7
D.1

答案： D

2. 如图,用火柴棒按规律搭图形。


(1)上表中$a=$17；
(2)第$n$个图形需要的火柴棒的根数是4n+1；
(3)若搭第$n个图形恰好需要97$根火柴棒,则$n$的值为24。

答案： 2.
(1)17　
(2)4n+1　
(3)24

3. 【综合与实践】从$1$,$2$,$3$,…,$n$($n$为整数,且$n\geqslant6$)这$n个整数中任取5$个整数,这$5$个整数之和共有多少种不同的结果？
我们采取一般问题特殊化的策略,从最简单的情形进行探究,逐次递进,找出解决问题的方法。
[探究一]
(1)从$1$,$2$,$3这3个整数中任取2$个整数,这$2$个整数之和共有多少种不同的结果？列出表$1$：

如表$1$,所取的$2个整数之和可能是3$,$4$,$5$,它们是从$3到5$的连续整数,其中最小是$3$,最大是$5$,所以共有$3$种不同的结果。
(2)从$1$,$2$,$3$,$4这4个整数中任取2$个整数,这$2$个整数之和共有多少种不同的结果？列出表$2$：

由表$2$知,所取的$2个整数之和可能是3$,$4$,$5$,$6$,$7$,它们是从$3到7$的连续整数,其中最小是$3$,最大是$7$,所以共有$5$种不同的结果。
(3)从$1$,$2$,$3$,$4$,$5这5个整数中任取2$个整数,这$2$个整数之和共有多少种不同的结果？仿照表$1和表2$,请列出表$3$。
所以,从$1$,$2$,$3$,$4$,$5这5个整数中任取2$个整数共有7种不同的结果。
(4)综上所述,从$1$,$2$,$3$,…,$n$($n$为整数,且$n\geqslant3$)这$n个整数中任取2$个整数,这$2$个整数之和共有2n-3种不同的结果。
[探究二]
(1)从$1$,$2$,$3$,$4这4个整数中任取3$个整数,这$3$个整数之和共有4种不同的结果。
(2)从$1$,$2$,$3$,$4$,$5这5个整数中任取3$个整数,这$3$个整数之和共有7种不同的结果。
(3)从$1$,$2$,$3$,…,$n$($n$为整数,且$n\geqslant4$)这$n个整数中任取3$个整数,这$3$个整数之和共有3n-8种不同的结果。
[探究三]
(1)从$1$,$2$,$3$,…,$n$($n$为整数,且$n\geqslant5$)这$n个整数中任取4$个整数,这$4$个整数之和共有多少种不同的结果？
从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，最大值是4n-6，所以一共有4n-6-10+1=(4n-15)种不同的结果。
(2)从$1$,$2$,$3$,…,$n$($n$为整数,且$n\geqslant6$)这$n个整数中任取5$个整数,这$5$个整数之和共有多少种不同的结果？
从1,2,3,…,n(n为整数，且n≥6)这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有(5n-24)种不同的结果。

答案： 3.解:[探究一]
(3)列出表3如下。取的2个整数1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,52个整数之和34565677897 分析 所取的2个整数之和可能是3,4,5,6,7,8,9，它们是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果。
(4)2n-3 [探究二]
(1)4　
(2)7
(3)3n-8 分析 从1,2,3,...,n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，最大值是3n-3，所以一共有3n-3-6+1=(3n-8)种不同的结果。[探究三]
(1)从1,2,3,…,n(n为整数,且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，最大值是4n-6，所以一共有4n-6-10+1=(4n-15)种不同的结果。
(2)从1,2,3,…,n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有(2n-3)种不同的结果;从1,2,3,...,n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有(3n-8)种不同的结果;从1,2,3,…,n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有(4n-15)种不同的结果;从1,2,3,…,n(n为整数，且n≥6)这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有(5n-24)种不同的结果。