《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

5. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠又无缝隙,就称它为“优美矩形”。如图所示,“优美矩形” $ ABCD $ 的周长为 26,则正方形 $ d $ 的边长为5。

答案： 5

6. 有 A,B 两个圆柱形容器,A 容器的底面积是 B 容器底面积的 2 倍,A 容器内的水高为 10 cm,B 容器是空的,B 容器的内壁高度为 21 cm。如果把 A 容器内的水全部倒入 B 容器中,水会不会溢出？

答案： 解:设B容器的底面积为S,A容器内的水全部倒入B容器后水的高度为x cm。根据题意得2×S×10=S×x。解得x=20。因为20＜21,即B容器内水的高度小于B容器的内壁高度,所以水不会溢出。

7. 用一个底面半径为 4 cm、高为 12 cm 的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为 10 cm 的大圆柱形玻璃杯中倒水,倒了满满 10 杯水后,大玻璃杯的液面离杯口还有 1 cm,那么大玻璃杯的高为多少？

答案： 解:设大玻璃杯的高为x cm。根据题意,得π×10²×(x-1)=π×4²×12×10。解得x=20.2。因此大玻璃杯的高为20.2 cm。

8. 小明家打算靠墙(墙长 14 m)修建一个长方形养鸡场(靠墙的一边作为长),另外三边用 35 m 长的竹篱笆围成。小明的爸爸打算让养鸡场的长比宽多 2 m,小明的妈妈打算让养鸡场的长比宽多 5 m,你认为他们谁的设计合理？按照这种设计,养鸡场的面积是多少平方米？

答案： 解:设养鸡场的宽为x m。①按小明爸爸的设计,其长应为(x+2)m。根据题意得x+2+2x=35。解得x=11。11+2=13,13＜14。所以小明爸爸的设计合理,这时养鸡场的面积为13×11=143(m²)。②按小明妈妈的设计,其长应为(x+5)m。根据题意得x+5+2x=35。解得x=10。10+5=15,15＞14。所以小明妈妈的设计不符合实际。因此小明爸爸的设计合理。按照这种设计,养鸡场的面积为143 m²。

9. 如图,实验室的水平桌面上有甲、乙、丙三个高度相同的圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为 $ 1:2:1 $,用两个相同的管子在容器的 10 cm 高处连通(即管子底部离容器底 10 cm),现在三个容器中只有乙中有水,水位为 4 cm。若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水,注水 1 min 后,甲的水位上升了 3 cm,则注水多长时间后,甲的水位比乙的高 1 cm？

答案： 解:分两种情况讨论。
(1)当甲中的水未流入乙中时,因为乙中的水位为4 cm,甲的水位比乙的高1 cm,所以甲的水位为5 cm。因为注水1 min,甲的水位上升3 cm,所以开始注入5÷3=5/3(min)水量后,甲的水位比乙的高1 cm。
(2)当甲中的水流入乙中时,因为甲的水位比乙的高1 cm,所以此时甲、丙中的水位为10 cm,则乙中的水位为9 cm。因为甲、乙、丙底面半径之比为1:2:1,所以若设甲、丙的底面半径为r,则乙的底面半径为2r,所以注水时间为[π(2r)²×(9-4)+2πr²×10]/(2πr²×3)=20/3(min)。因此注水5/3 min或20/3 min后,甲的水位比乙的高1 cm。